Um carro parte do repouso em uma pista retilínea e sua posição
, em metros, em relação ao tempo
, em segundos, é descrita pela função:
a) Determine a função da velocidade
do carro.
b) Determine a função da aceleração
do carro.
c) Qual é a velocidade do carro no instante
segundos?
d) Qual é a aceleração do carro no instante
segundos?
e) Em que instante(s) o carro para momentaneamente?
b) Determine a função da aceleração
c) Qual é a velocidade do carro no instante
d) Qual é a aceleração do carro no instante
e) Em que instante(s) o carro para momentaneamente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um carro que começa parado e sua posição $ s(t) $ em função do tempo $ t $ é dada por:
Vamos precisar usar conhecimentos de cinemática e cálculo, especialmente sobre derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração do carro. Também vamos calcular valores específicos e descobrir quando o carro para.
Passo 2
a) Determinar a função da velocidade $ v(t) $ do carro.
A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Para encontrar $ v(t) $, vamos derivar a função de posição $ s(t) $ em relação a $ t $.
Derivando termo a termo:
Passo 3
b) Determinar a função da aceleração $ a(t) $ do carro.
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar $ a(t) $, vamos derivar a função de velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $.
Derivando termo a termo:
Passo 4
c) Qual é a velocidade do carro no instante $ t=4 $ segundos?
Vamos substituir $ t = 4 $ na função de velocidade $ v(t) $:
Passo 5
d) Qual é a aceleração do carro no instante $ t=4 $ segundos?
Vamos substituir $ t = 4 $ na função de aceleração $ a(t) $:
Passo 6
e) Em que instante(s) o carro para momentaneamente?
O carro para momentaneamente quando a velocidade é zero, ou seja, quando $ v(t) = 0 $.
Temos a função de velocidade:
Igualando a zero:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 9 $, $ b = -10 $ e $ c = 2 $:
Simplificando:
Então:
Calculando as duas possibilidades:
Resposta
a) $ v(t) = 9t^2 -10t +2 $ m/s
b) $ a(t) = 18t -10 $ m/s²
c) A velocidade no instante $ t=4 $ segundos é $ 106 $ m/s
d) A aceleração no instante $ t=4 $ segundos é $ 62 $ m/s²
e) O carro para momentaneamente nos instantes aproximadamente $ t \approx 0,262 $ segundos e $ t \approx 0,849 $ segundos