Um carro parte do repouso em uma pista retilínea e sua posição s(t), em metros, em relação ao tempo t, em segundos, é descrita pela função:
s(t)=3 t^3-5 t^2+2 t
a) Determine a função da velocidade v(t) do carro.
b) Determine a função da aceleração a(t) do carro.
c) Qual é a velocidade do carro no instante t=4 segundos?
d) Qual é a aceleração do carro no instante t=4 segundos?
e) Em que instante(s) o carro para momentaneamente?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um carro que começa parado e sua posição $ s(t) $ em função do tempo $ t $ é dada por:
s(t)
Vamos precisar usar conhecimentos de cinemática e cálculo, especialmente sobre derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração do carro. Também vamos calcular valores específicos e descobrir quando o carro para.

Passo 2

a) Determinar a função da velocidade $ v(t) $ do carro.
A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Para encontrar $ v(t) $, vamos derivar a função de posição $ s(t) $ em relação a $ t $.
v(t)
Derivando termo a termo:
v(t)

Passo 3

b) Determinar a função da aceleração $ a(t) $ do carro.
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar $ a(t) $, vamos derivar a função de velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $.
a(t)
Derivando termo a termo:
a(t)

Passo 4

c) Qual é a velocidade do carro no instante $ t=4 $ segundos?
Vamos substituir $ t = 4 $ na função de velocidade $ v(t) $:
t=4

Passo 5

d) Qual é a aceleração do carro no instante $ t=4 $ segundos?
Vamos substituir $ t = 4 $ na função de aceleração $ a(t) $:
t=4

Passo 6

e) Em que instante(s) o carro para momentaneamente?
O carro para momentaneamente quando a velocidade é zero, ou seja, quando $ v(t) = 0 $.
Temos a função de velocidade:
v(t) = 0
Igualando a zero:
v(t) = 9t^2 -10t +2
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
9t^2 -10t +2 = 0
Onde $ a = 9 $, $ b = -10 $ e $ c = 2 $:
t = -b pm raizb^2 -4ac2a
Simplificando:
a = 9
Então:
b = -10
Calculando as duas possibilidades:
  1. c = 2
  2. t = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 times 9 times 22 times 9 = 10 pm raiz100 - 7218 = 10 pm raiz2818

Resposta

a) $ v(t) = 9t^2 -10t +2 $ m/s
b) $ a(t) = 18t -10 $ m/s²
c) A velocidade no instante $ t=4 $ segundos é $ 106 $ m/s
d) A aceleração no instante $ t=4 $ segundos é $ 62 $ m/s²
e) O carro para momentaneamente nos instantes aproximadamente $ t \approx 0,262 $ segundos e $ t \approx 0,849 $ segundos

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