Determine a equação do plano que:
passa pelo ponto A=(1,-2,3) e contém a reta de equações paramétricas x=2 t, y=1+t e z=-1-2 t.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação do plano:
Ponto A=(1,-2,3).
Uma reta r com equações paramétricas \;x=2t,\; y=1+t,\; z=-1-2t\; (para todo t\in\mathbb{R}).
O que se pede: encontrar a equação cartesiana do plano que passa por A e contém toda a reta r.
Passo 2
Ideia geral (sem matemática pesada ainda): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser descrito por um ponto que ele contém e um vetor normal \mathbf{n} (um vetor perpendicular a todo vetor do plano). A equação do plano com normal \mathbf{n} que passa por um ponto P_0 é dada por
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-P_0\big)=0.
Portanto preciso encontrar um vetor normal ao plano. Como o plano contém a reta r, a direção da reta é um vetor do plano. Se eu pegar outro vetor do plano (por exemplo, o vetor que liga um ponto da reta até o ponto A que também está no plano), então a reação cruzada (produto vetorial) desses dois vetores dá um vetor normal ao plano. Vou executar isso passo a passo.
Passo 3
Acho um ponto qualquer da reta r. Tomando t=0 (escolha simples e válida) obtenho o ponto
P_0=(x,y,z)\big|_{t=0}=(0,1,-1).
Anotei explicitamente que peguei o ponto P_0 na reta usando t=0.
Passo 4
Identifico o vetor diretor da reta r. Das equações paramétricas \;x=2t,\; y=1+t,\; z=-1-2t\; os coeficientes de t formam o vetor diretor
\mathbf{v}=(2,1,-2).
Explicando: x=2t indica variação 2 na coordenada x quando t aumenta de 1, e assim por diante — por isso \mathbf{v}=(2,1,-2).
Passo 5
Faço o vetor que liga P_0 ao ponto A. Posso usar \overrightarrow{P_0A}=A-P_0. Calculando coordenada a coordenada:
Esse vetor também está no plano (pois liga um ponto da reta a outro ponto do plano).
Passo 6
Agora calculo o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\overrightarrow{P_0A} para obter um vetor normal ao plano. Escrevo o determinante 3×3 e computo componente a componente:
Componente em \mathbf{j}: 2\cdot4 - (-2)\cdot1 = 8 - (-2) = 10, lembrando que o sinal do termo \mathbf{j} fica com menos ao expandir o determinante, logo resulta -10.
Posso usar qualquer múltiplo não-nulo desse vetor como normal; para ficar com sinais mais agradáveis multiplico por -1 e uso
\mathbf{n}=(2,10,7).
Passo 7
Escrevo a equação do plano na forma ponto-normal usando o ponto A=(1,-2,3) e o normal \mathbf{n}=(2,10,7):
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-A\big)=0.
Em forma de produto escalar isso é
(2,10,7)\cdot\big((x,y,z)-(1,-2,3)\big)=0.
Passo 8
Posso verificar rapidamente que a reta r fica inteira no plano: substituir x=2t,\;y=1+t,\;z=-1-2t na forma expandida do plano deve dar 0 para todo t. Esta verificação confirma que escolhi o normal corretamente e que o plano contém a reta. Também verificar A no plano (substituindo (1,-2,3)) retorna 0, como esperado.