Um carro percorre uma curva plana de tal modo que suas coordenadas retangulares, como funções do tempo, são dadas por:
. Admitindo
como dado em segundos e
e
em metros, calcular:
a) a posição do carro quando
;
b) o vetor velocidade em um instante qualquer;
c) os componentes retangulares do vetor velocidade para
;
d) o instante em que a velocidade é zero;
e) os componentes retangulares do vetor aceleração em um instante qualquer;
f) o instante em que a aceleração é paralela ao eixo
.
a) a posição do carro quando
b) o vetor velocidade em um instante qualquer;
c) os componentes retangulares do vetor velocidade para
d) o instante em que a velocidade é zero;
e) os componentes retangulares do vetor aceleração em um instante qualquer;
f) o instante em que a aceleração é paralela ao eixo
Passo 1
O enunciado nos dá a posição de um carro em coordenadas paramétricas:
x(t)=2t³−3t² e y(t)=t²−2t+1. Precisamos usar derivadas de funções polinomiais (movimento paramétrico) para achar posição, velocidade e aceleração, e resolver condições específicas.
x(t)=2t³−3t² e y(t)=t²−2t+1. Precisamos usar derivadas de funções polinomiais (movimento paramétrico) para achar posição, velocidade e aceleração, e resolver condições específicas.
Passo 2
Para (a), basta avaliar as funções de posição em t=1. Substituímos t=1 em x(t) e em y(t) para obter ⎛x(1),y(1)⎞.
Para (b), lembrando que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, calculamos dx/dt e dy/dt. Isso nos dá o vetor velocidade v(t)=⎛x′(t),y′(t)⎞.
Para ©, avaliamos o vetor v(t) encontrado no passo anterior em t=1, ou seja, plugamos t=1 em x′(t) e y′(t) para achar os componentes retangulares da velocidade nesse instante.
Para (b), lembrando que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, calculamos dx/dt e dy/dt. Isso nos dá o vetor velocidade v(t)=⎛x′(t),y′(t)⎞.
Para ©, avaliamos o vetor v(t) encontrado no passo anterior em t=1, ou seja, plugamos t=1 em x′(t) e y′(t) para achar os componentes retangulares da velocidade nesse instante.
Passo 3
Para (d), a velocidade só é zero quando ambos x′(t)=0 e y′(t)=0 ao mesmo tempo. Então resolvemos o sistema x′(t)=0 e y′(t)=0 para t.
Passo 4
Para (e), a aceleração é a derivada de v(t). Calculamos então d/dt[x′(t)] e d/dt[y′(t)] para obter o vetor aceleração a(t)=⎛x″(t),y″(t)⎞.
Para (f), dizer que a aceleração é paralela ao eixo y significa que sua componente x é zero. Então impomos x″(t)=0 e resolvemos para t.
Para (f), dizer que a aceleração é paralela ao eixo y significa que sua componente x é zero. Então impomos x″(t)=0 e resolvemos para t.
Resposta
a)
m; b)
m/s; c)
m/s; d)
s; e)
m/s²; f)
s.