Um carro percorre uma curva plana de tal modo que suas coordenadas retangulares, como funções do tempo, são dadas por: x=2 t^3-3 t^2, y=t^2-2 t+1. Admitindo t como dado em segundos e x e y em metros, calcular:
a) a posição do carro quando t=1 s;
b) o vetor velocidade em um instante qualquer;
c) os componentes retangulares do vetor velocidade para t=1 s;
d) o instante em que a velocidade é zero;
e) os componentes retangulares do vetor aceleração em um instante qualquer;
f) o instante em que a aceleração é paralela ao eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de um carro em coordenadas paramétricas:
x(t)=2t³−3t² e y(t)=t²−2t+1. Precisamos usar derivadas de funções polinomiais (movimento paramétrico) para achar posição, velocidade e aceleração, e resolver condições específicas.

Passo 2

Para (a), basta avaliar as funções de posição em t=1. Substituímos t=1 em x(t) e em y(t) para obter ⎛x(1),y(1)⎞.
Para (b), lembrando que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, calculamos dx/dt e dy/dt. Isso nos dá o vetor velocidade v(t)=⎛x′(t),y′(t)⎞.
Para ©, avaliamos o vetor v(t) encontrado no passo anterior em t=1, ou seja, plugamos t=1 em x′(t) e y′(t) para achar os componentes retangulares da velocidade nesse instante.

Passo 3

Para (d), a velocidade só é zero quando ambos x′(t)=0 e y′(t)=0 ao mesmo tempo. Então resolvemos o sistema x′(t)=0 e y′(t)=0 para t.

Passo 4

Para (e), a aceleração é a derivada de v(t). Calculamos então d/dt[x′(t)] e d/dt[y′(t)] para obter o vetor aceleração a(t)=⎛x″(t),y″(t)⎞.
Para (f), dizer que a aceleração é paralela ao eixo y significa que sua componente x é zero. Então impomos x″(t)=0 e resolvemos para t.

Resposta

a) vec r(1)=(-1,0) m; b) vec v(t)=(6t^2-6t,;2t-2) m/s; c) vec v(1)=(0,0) m/s; d) t=1 s; e) vec a(t)=(12t-6,;2) m/s²; f) t=tfrac12 s.

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