O movimento de um corpo caindo em um fluido possui aceleração dada por:
a=dvdt=b-cv,
onde bec aão constantes ev(0) =v0. Determine a velocidade em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade v(t) de um corpo que cai num fluido, obedecendo à equação de aceleração dvdt=b - c,v com condição inicial v(0)=v0. O conteúdo é resolução de equação diferencial linear de 1ª ordem.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de equação linear: dvdt + c,v = b. Assim, identificamos que o coeficiente de v é c e o termo não homogêneo é b.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t), que é dado por mu(t)=e^integral c,dt=e^ct. Esse fator vai nos ajudar a tornar o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=e^ct: e^ctdvdt + c,e^ctv = b,e^ct.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^ctv: ddtl(e^ctvr)=b,e^ct.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t: e^ctv = integral b,e^ctdt + C = bce^ct + C, onde C é a constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição inicial v(0)=v0. Substituindo t=0 em e^ctv = bce^ct + C 1cdot v0 = bccdot1 + Cimplies C = v0 - bc

Passo 8

Voltam-se os termos para isolar v(t): e^ctv = bce^ct + v0 - bc e, dividindo por e^ct, obtemos a solução geral.

Passo 9

Chegamos assim à solução final para a velocidade em função do tempo: v(t)=bc + l(v0 - bcr)e^-ct

Resposta

v(t)=bc+l(v0-bcr)e^-ct

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