Um projétil é lançado de um ponto de coordenadas (2,3,1) com velocidade vo=3 i+4 j, em um lugar onde o vetor aceleração da gravidade é g=-10 j m / s^2 (MKS). Pede-se:
a) para um instante genérico t, os vetores aceleração, velocidade e posição, em coordenadas cartesianas;
b) a equação da trajetória;

Passo 1

O enunciado diz que um projétil parte do ponto (2,3,1) com velocidade inicial v0=3i+4j e sofre aceleração da gravidade constante g=-10j. Isso é um problema de cinemática vetorial com aceleração constante: vamos integrar vetores para achar aceleração, velocidade e posição e depois eliminar o parâmetro t para obter a trajetória.

Passo 2

Como a gravidade é constante, o vetor aceleração em qualquer instante t é simplesmente
a(t)=g=-10j

Passo 3

Para obter a velocidade v(t), integramos a(t) em relação a t e somamos a velocidade inicial v0. Assim:
v(t)=v0+integrala(t),dt=3i+4j+(-10j)t=3i+(4-10t)j

Passo 4

A posição r(t) vem da integração de v(t) em relação a t, adicionando o vetor posição inicial r0=(2,3,1). Ficamos com:
r(t)=r0+integralv(t),dt=(2,3,1)+(3t,4t-5t^2,0)=(2+3t,;3+4t-5t^2,;1)

Passo 5

Para a equação da trajetória, eliminamos t entre x e y. De x=2+3t vem t=(x-2)/3. Substituindo em y=3+4t-5t^2 e lembrando que z=1 fixo, temos:
y=3+4x-23-5l(x-23r)^2, z=1

Resposta

a) Aceleração: a(t)=-10j
Velocidade: v(t)=3i+(4-10t)j
Posição: r(t)=(2+3t,;3+4t-5t^2,;1)
b) Trajetária (plano z=1): y=3+43(x-2)-59(x-2)^2, z=1

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