Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de
e
e
é o anticomutador de
e
h) [A B, C D]=-A C{D, B}+A{C, B} D-C{D, A} B+{C, A} D B)
Passo 1
Vamos relembrar que o comutador é definido por
e o anticomutador por
. Nosso objetivo é provar que
.
Passo 2
Usamos a identidade de Leibniz para comutadores:
Aplicando com
, obtemos
Passo 3
Agora expandimos os comutadores dentro:
Isso vem da propriedade distributiva de
.
Passo 4
Substituindo em
e distribuindo temos quatro termos:
Passo 5
Vamos agrupar esses quatro termos em dois pares, usando
:
- Primeiro par:
. - Segundo par:
.
Passo 6
Por fim, expressamos cada par em função de anticomutadores:
-
. -
.
Somando esses dois resultados chegamos à identidade desejada.
Resposta
[AB,CD]=-A C{D,B}+A{C,B}D-C{D,A}B+{C,A}DB