Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de X e Y e X, Y=X Y+Y X é o anticomutador de X e Y
h) [A B, C D]=-A C{D, B}+A{C, B} D-C{D, A} B+{C, A} D B)

Passo 1

Vamos relembrar que o comutador é definido por [X,Y]=XY-YX e o anticomutador por X,Y=XY+YX. Nosso objetivo é provar que
[AB,CD]=-A CD,B+AC,BD-CD,AB+C,AD B.

Passo 2

Usamos a identidade de Leibniz para comutadores:
[XY,Z]=X[Y,Z]+[X,Z]Y
Aplicando com X=A, Y=B, Z=CD, obtemos
[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B .

Passo 3

Agora expandimos os comutadores dentro:
[B,CD]=[B,C]D+C[B,D],
[A,CD]=[A,C]D+C[A,D]
Isso vem da propriedade distributiva de [X, YZ].

Passo 4

Substituindo em [AB,CD] e distribuindo temos quatro termos:
[AB,CD]=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B

Passo 5

Vamos agrupar esses quatro termos em dois pares, usando [X,Y]=XY-YX:
  • Primeiro par: A[B,C]D+AC[B,D]=ABCD-ACDB.
  • Segundo par: [A,C]DB+C[A,D]B=ACDB-CDAB.

Passo 6

Por fim, expressamos cada par em função de anticomutadores:
  • ABCD-ACDB=-AC(DB+BD)+A(CB+BC)D=-A CD,B+AC,BD.
  • ACDB-CDAB=-(CDAB+CADB)+(CADB+ACDB)=-CD,AB+C,ADB.
    Somando esses dois resultados chegamos à identidade desejada.

Resposta

[AB,CD]=-A C{D,B}+A{C,B}D-C{D,A}B+{C,A}DB

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