Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido Oeste-Leste; a seguir percorre 10 km no sentido Suk-Norte e finalmente percorre 5 km numa direção que forma um ângulo de 30^circ com o Norte e 60^circ com o Leste. (a) Use um sistema cartesiano e ache o módulo do deslocamento resultante. (b) Obtenha o ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido Oeste-Leste.

Passo 1

Escolhemos um sistema de eixos cartesianas com o eixo x apontando para o Leste (positivo) e o eixo y apontando para o Norte (positivo). O carro faz três deslocamentos:
30,km para o Leste,
10,km para o Norte,
5,km numa direção que forma 30^circ com o Norte (logo 60^circ com o Leste).
Para resolver, vamos decompor cada deslocamento em componentes (x,y), somar essas componentes para obter o vetor resultante vec R e então calcular seu módulo e o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 2

Decompondo cada vetor deslocamento em componentes:
vec d1 = (30,,0)
vec d2 = (0,,10)
Para o terceiro deslocamento de módulo 5,km, sabendo que o ângulo com o eixo x (Leste) é 60^circ:
x3 = 5cos60^circ = 2,5, y3 = 5cos30^circ = tfrac5raiz32approx4,33,
vec d3 = l(2,5,,tfrac5raiz32r)

Passo 3

Somamos as componentes para obter vec R:
Rx = 30 + 0 + 2,5 = 32,5, Ry = 0 + 10 + tfrac5raiz32 approx 14,33

Passo 4

O módulo de vec R vem do teorema de Pitágoras:
|vec R| = raizRx^2 + Ry^2 = raiz32,5^2 + 14,33^2 approx 35,52 km

Passo 5

O ângulo theta entre vec R e o eixo x (Leste–Oeste) calcula-se por:
theta = arctan!l(tfracRyRxr) = arctan!l(tfrac14,3332,5r) approx 23,8^circ,
ou seja, cerca de 23,8^circ ao Norte do Leste.

Resposta

(a) 35,52,km
(b) 23,8^circ Norte do Leste

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