Nos seguintes problemas, determine se as sequiências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
11) (-1)^n sen(n)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = (-1)^n sen(n),
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Aqui o conteúdo é convergência de sequências reais e vamos explorar subsequências para mostrar que não há limite único.

Passo 2

Sabemos que a sequência sen(n) não converge e, na verdade, seus valores são densos no intervalo [-1,1]. Em particular, existem infinitos ninN tais que sen(n) fica arbitrariamente próximo de 1.

Passo 3

Escolhemos uma subsequência de índices pares nk tal que
sen(nk)to 1
Como nk é par, temos (-1)^nk=1, logo
ank = (-1)^nksen(nk) = 1cdot sen(nk) ;longrightarrow; 1

Passo 4

Agora escolhemos outra subsequência de índices ímpares mk também com
sen(mk)to 1
Como mk é ímpar, (-1)^mk=-1, então
amk = (-1)^mksen(mk) = -1cdot sen(mk) ;longrightarrow; -1

Passo 5

Encontramos duas subsequências de an com limites diferentes (uma vai para 1 e outra para -1). Logo, a sequência completa não pode ter limite único e diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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