Nos seguintes problemas, determine se as sequiências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
11)
11)
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Aqui o conteúdo é convergência de sequências reais e vamos explorar subsequências para mostrar que não há limite único.
Passo 2
Sabemos que a sequência
não converge e, na verdade, seus valores são densos no intervalo
. Em particular, existem infinitos
tais que
fica arbitrariamente próximo de
.
Passo 3
Escolhemos uma subsequência de índices pares
tal que
Como
é par, temos
, logo
Passo 4
Agora escolhemos outra subsequência de índices ímpares
também com
Como
é ímpar,
, então
Passo 5
Encontramos duas subsequências de
com limites diferentes (uma vai para
e outra para
). Logo, a sequência completa não pode ter limite único e diverge.
Resposta
A sequência diverge.