Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola 6 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2 m para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido com uma única tacada.

Passo 1

Vamos resolver um problema de deslocamento vetorial no golfe. A matéria que precisamos aqui é de vetores, especificamente a adição de vetores. Vamos precisar entender como representar cada tacada como um vetor e somá-los para encontrar o deslocamento equivalente.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada tacada como um vetor nas direções dadas:
  • A primeira tacada é de 6 m para o Norte.
  • A segunda tacada é de 2 m para o Leste.
  • A terceira tacada é de 2 m para o Nordeste.

Passo 3

Vamos decompor cada vetor em suas componentes no eixo x (Leste) e y (Norte). Lembre-se que Nordeste significa 45 graus entre o Norte e o Leste.

Passo 4

As componentes dos vetores são:
  • Primeiro vetor (6 m Norte): V1 = (0, 6)
  • Segundo vetor (2 m Leste): V2 = (2, 0)
  • Terceiro vetor (2 m Nordeste): V3 = (2 cdot cos(45°), 2 cdot sin(45°)) = (raiz2, raiz2)

Passo 5

Agora, somamos as componentes correspondentes dos três vetores para encontrar o vetor resultante:
Vtotal = V1 + V2 + V3 = (0 + 2 + raiz2, 6 + 0 + raiz2) = (2 + raiz2, 6 + raiz2)

Passo 6

Vamos calcular o módulo do vetor resultante usando o teorema de Pitágoras:
|Vtotal| = raiz(2 + raiz2)^2 + (6 + raiz2)^2
Primeiro, calculamos cada termo:
(2 + raiz2)^2 = 4 + 4raiz2 + 2 = 6 + 4raiz2
(6 + raiz2)^2 = 36 + 12raiz2 + 2 = 38 + 12raiz2
Somando:
6 + 4raiz2 + 38 + 12raiz2 = 44 + 16raiz2
Então:
|Vtotal| = raiz44 + 16raiz2 approx raiz44 + 22.627 = raiz66.627 approx 8.16 m

Passo 7

Para encontrar a direção, usamos a tangente do ângulo:
tan(theta) = 6 + raiz22 + raiz2 approx 6 + 1.4142 + 1.414 = 7.4143.414 approx 2.17
Então:
theta = arctan(2.17) approx 65°

Resposta

O deslocamento equivalente é de aproximadamente 8,16 metros na direção de 65 graus ao Norte do Leste.

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