Um carro percorre 6 km para o sul e 8 km para o sudoeste. Sabendo que o sudoeste forma com o sul um ângulo de 45 graus, quantos km e em que direção o carro percorreu?

Passo 1

O problema nos dá dois deslocamentos sucessivos de um carro: primeiro 6 km para o sul e depois 8 km para o sudoeste (que faz 45^\circ em relação ao sul). Precisamos encontrar o vetor resultante desses dois deslocamentos, ou seja, a distância total percorrida em linha reta e a direção desse vetor. Para isso, vamos usar decomposição vetorial em componentes ortogonais e depois trigonometria para obter magnitude e ângulo.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o eixo y apontando para o norte (positivo) e o eixo x apontando para o leste (positivo).
O primeiro deslocamento vale
\vec v_1 = (0,\,-6)
pois vai 6 km para o sul.
O segundo deslocamento faz 45^\circ a oeste do sul, logo suas componentes são
\vec v_2 = \bigl(-8\sin45^\circ,\,-8\cos45^\circ\bigr) = \bigl(-8\cdot\tfrac{\sqrt2}{2},\,-8\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = \bigl(-5{,}657,\,-5{,}657\bigr).

Passo 3

Somamos componente a componente para achar o vetor resultante \vec R:
\vec R = \vec v_1 + \vec v_2 = \bigl(0 + (-5{,}657),\,-6 + (-5{,}657)\bigr) = \bigl(-5{,}657,\,-11{,}657\bigr).

Passo 4

A magnitude de \vec R é
\|\vec R\| = \sqrt{(-5{,}657)^2 + (-11{,}657)^2} \approx \sqrt{32 + 136} = \sqrt{168} \approx 12{,}96\text{ km}.

Passo 5

Para achar a direção, medimos o ângulo \alpha entre \vec R e o eixo sul (direção (0,-1)). Como o componente oeste é |x|=5{,}657 e o componente sul é |y|=11{,}657,
\alpha = \arctan\Bigl(\frac{5{,}657}{11{,}657}\Bigr) \approx 25{,}9^\circ.
Isto significa que o vetor resultante aponta 25{,}9^\circ a oeste do sul.

Resposta

O carro terminou a trajetória a aproximadamente 12,96 km em linha reta, na direção S 26^\circ W.

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