Dois vetores, cujos módulos são de 6 e 9 unidades de comprimento, formam um ângulo de
a) 30^{\circ},
b) 60^{\circ},
c) 120^{\circ},
d) 150^{\circ},
e) 180^{\circ}.
Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com relação ao menor vetor.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores de módulos 6 e 9 que formam entre si um ângulo \theta, e pede (1) o módulo da soma \vec R=\vec A+\vec B e (2) a direção desse \vec R em relação ao vetor de módulo 6. Vamos usar dois resultados de geometria de vetores no plano: a lei dos cossenos para achar \|\vec R\| e a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores para achar o ângulo \varphi entre \vec R e o vetor de módulo 6.

Passo 2

Pela lei dos cossenos, o módulo da soma é
\|\vec R\| = \sqrt{6^2 + 9^2 + 2\cdot6\cdot9\cos\theta}.

Passo 3

No triângulo com lados 6, 9 e \|\vec R\|, o ângulo \varphi oposto ao lado de comprimento 9 (ou seja, entre \vec R e o vetor de módulo 6) satisfaz
9^2 = 6^2 + \|\vec R\|^2 \;-\;2\cdot6\cdot\|\vec R\|\cos\varphi.
Isolando \cos\varphi,
\cos\varphi = \frac{6^2 + \|\vec R\|^2 - 9^2}{2\cdot6\cdot\|\vec R\|}.
Logo \varphi = \operatorname{arccos}\bigl(\cdots\bigr).

Passo 4

Aplicando essas fórmulas para cada \theta dado:
(a) \theta=30^\circ \|\vec R\| = \sqrt{36+81+2\cdot54\cdot\cos30^\circ} \approx14,51 \cos\varphi =\dfrac{36+210,53-81}{2\cdot6\cdot14,51}\approx0{,}951; \Rightarrow \varphi\approx18,1^\circ (b) \theta=60^\circ \|\vec R\| = \sqrt{36+81+2\cdot54\cdot\frac12} =\sqrt{171}\approx13,08 \cos\varphi =\dfrac{36+171-81}{2\cdot6\cdot13,08}\approx0{,}803; \Rightarrow \varphi\approx36,6^\circ (c) \theta=120^\circ \|\vec R\| = \sqrt{36+81+2\cdot54\cdot(-\tfrac12)} =\sqrt{63}\approx7,94 \cos\varphi =\dfrac{36+63-81}{2\cdot6\cdot7,94}\approx0{,}189; \Rightarrow \varphi\approx79,1^\circ (d) \theta=150^\circ \|\vec R\| = \sqrt{36+81+2\cdot54\cdot(-\tfrac{\sqrt3}2)} \approx4,84 \cos\varphi =\dfrac{36+23,47-81}{2\cdot6\cdot4,84}\approx-0{,}371; \Rightarrow \varphi\approx111,8^\circ (e) \theta=180^\circ \|\vec R\| = \sqrt{36+81+2\cdot54\cdot(-1)} =3,00 \cos\varphi =\dfrac{36+9-81}{2\cdot6\cdot3}=-1; \Rightarrow \varphi=180,0^\circ

Resposta

(a) \|\vec R\|\approx14,51, \varphi\approx18,1^\circ
(b) \|\vec R\|\approx13,08, \varphi\approx36,6^\circ
(c) \|\vec R\|\approx7,94, \varphi\approx79,1^\circ
(d) \|\vec R\|\approx4,84, \varphi\approx111,8^\circ
(e) \|\vec R\|\approx3,00, \varphi=180,0^\circ

Exercícios relacionados