Questão 2

Incorreto
Atingiu -0,10 de 1,00
Em uma partida de futebol um atacante; parte para chutar uma bola; em repouso. O chute, direto e rasteiro, aplica à bola uma aceleração que varia conforme a equação horária: a(t)=a_{0}\left(\mathbf{4} t / T-\mathbf{4} t^{2} / T^{2}\right), onde a duração do chute é T e a_{0} é um parâmetro de aceleração. Considerando a bola como uma partícula, a velocidade ao final do chute pode ser expressa por:
Escolha uma opção:
a. (2 / 3) a_{0} T
b. a_{0} T
c. Nenhuma das alternativas
d. (1 / 3) a_{0} T
e. (1 / 2) a_{0} T
A resposta correta é: (2 / 3) a_{0} T

Passo 1

O enunciado dá a aceleração variável da bola durante o chute como
a(t)=a_{0}\Bigl(\tfrac{4t}{T}-\tfrac{4t^{2}}{T^{2}}\Bigr),
quer a velocidade ao final do chute. O conteúdo aqui é cinemática com aceleração não constante, e vamos precisar usar que a velocidade final é a integral da aceleração no intervalo de tempo do chute.

Passo 2

Como a bola parte do repouso, a velocidade inicial é v(0)=0. A velocidade ao final do chute, em t=T, é
v(T)=\int_{0}^{T}a(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Substituindo a(t) em v(T) e fatorando a_{0}:
v(T)=a_{0}\int_{0}^{T}\Bigl(\tfrac{4t}{T}-\tfrac{4t^{2}}{T^{2}}\Bigr)\mathrm{d}t =a_{0}\Bigl[\int_{0}^{T}\tfrac{4t}{T}\mathrm{d}t-\int_{0}^{T}\tfrac{4t^{2}}{T^{2}}\mathrm{d}t\Bigr].

Passo 4

Calculemos cada integral:
\int_{0}^{T}\tfrac{4t}{T}\mathrm{d}t =\tfrac{4}{T}\cdot\frac{T^{2}}{2}=2T, \quad \int_{0}^{T}\tfrac{4t^{2}}{T^{2}}\mathrm{d}t =\tfrac{4}{T^{2}}\cdot\frac{T^{3}}{3}=\tfrac{4T}{3}.
Logo,
v(T)=a_{0}\bigl(2T-\tfrac{4T}{3}\bigr) =a_{0}\cdot\tfrac{2T}{3} =\tfrac{2}{3}a_{0}T.

Resposta

a. \displaystyle \frac{2}{3}a_{0}T

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