Um carro de policia se move em uma estrada com uma velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, se aproximando de um observador em repouso, enquanto a sirene da viatura emite um som com uma frequéncia de 1200 Hz . Sabendo que a velocidade do som no ar é de 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a frequência aparente detectada pelo observador.
a) 1520 Hz
b) 1360 Hz
c) 1200 Hz
d) 1080 Hz

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Frequência emitida pela sirene: \,f=1200\\ \mathrm{Hz}\,.
  • Velocidade da viatura (fonte) se aproximando do observador: \,v_s=40\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Observador em repouso (velocidade do observador \,v_o=0\\ \mathrm{m/s}\,).
  • Velocidade do som no ar: \,v=340\\ \mathrm{m/s}\,.
    O que se pede: determinar a frequência aparente detectada pelo observador quando a fonte se aproxima.

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma simples): quando a fonte sonora se aproxima de um ouvinte, as cristas das ondas sonoras são emitidas de posições cada vez mais próximas uma da outra, ou seja, o comprimento de onda efetivo recebido diminui e a frequência percebida aumenta. Essa é a chamada efeito Doppler para fonte em movimento. Vamos transformar essa ideia em contas fáceis.

Passo 3

Definição e dedução da fórmula passo a passo:
  • A frequência emitida é \,f. O período (tempo entre duas emissões) é \,T=\dfrac{1}{f}\,.
  • Se a fonte estivesse em repouso, o comprimento de onda seria \,\lambda=\dfrac{v}{f}\,, porque velocidade é comprimento por tempo.
  • Como a fonte se move na direção do observador com velocidade \,v_s, durante o tempo T a fonte avança uma distância \,v_s T. Assim o comprimento de onda efetivo na direção do observador fica menor:
\lambda'=\lambda - v_s T=\frac{v}{f}-v_s\cdot\frac{1}{f}=\frac{v-v_s}{f}.
  • A frequência percebida pelo observador é a velocidade do som dividida pelo comprimento de onda percebido:
f'=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{(v-v_s)/f}=f\cdot\frac{v}{v-v_s}.
Aqui explico cada símbolo:
  • \,f' é a frequência aparente que queremos.
  • \,f é a frequência emitida pela sirene.
  • \,v é a velocidade do som no ar.
  • \,v_s é a velocidade da fonte em direção ao observador.

Passo 4

Agora usamos a fórmula obtida:
f' = f\cdot\frac{v}{v-v_s}.

Passo 5

Substituímos os valores dados:
f' = 1200\cdot\frac{340}{340-40}.
Calcule o denominador:
340-40=300.
Portanto
f' = 1200\cdot\frac{340}{300}.

Passo 6

Fazendo contas de cabeça passo a passo (sem calculadora), podemos simplificar:
\frac{340}{300}=\frac{34}{30}=\frac{17}{15}.
Logo
f' = 1200\cdot\frac{17}{15}.
Divida primeiro 1200 por 15:
\frac{1200}{15}=80,
então
f' = 80\cdot17 = 1360\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Checagem rápida de coerência: a fonte está se aproximando, então a frequência percebida deve ser maior que a emitida ( 1360\\ \mathrm{Hz}>1200\\ \mathrm{Hz}), o que faz sentido.

Resposta

b) 1360 Hz

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