Um ouvinte desloca-se com velocidade constante em uma trajetória retilinea que interliga duas fontes sonoras imóveis, as quais emitem sons de frequências diferentes, aproximando-se da fonte de menor frequència. Sabendo-se que a razão entre as frequências é igual a 0,8 e que a velocidade de propagação do som no ar é de
, qual deve ser a velocidade de deslocamento, em
, do ouvinte para que as frequèncias aparentes das duas fontes percebidas por ele sejam iguais?
a) 18,5
b) 37,0
c) 74,0
d. 148,0
a) 18,5
b) 37,0
c) 74,0
d. 148,0
Passo 1
O enunciado fornece:
- Duas fontes sonoras imóveis com frequências diferentes. A razão entre as frequências é
, onde é a menor frequência e a maior. - Um ouvinte desloca-se com velocidade constante numa trajetória retilínea que liga as duas fontes, aproximando‑se da fonte de menor frequência (
). - A velocidade de propagação do som no ar é
.
O que se pede: - Determinar a velocidade do ouvinte (em
) para que as frequências aparentes das duas fontes percebidas por ele sejam iguais.
Passo 2
Vamos definir variáveis e a fórmula que vamos usar:
-
= velocidade do som no ar ( ). -
= velocidade do ouvinte (o que queremos achar). -
= frequência da fonte menor. -
= frequência da fonte maior, com .
Para um observador em movimento e fonte fixa, a fórmula do efeito Doppler (para frequência percebida
) é:
onde o sinal
é usado quando o observador se aproxima da fonte (a frequência percebida aumenta) e o sinal
quando o observador se afasta da fonte (a frequência percebida diminui). Vou explicar rapidamente por que: as frentes de onda chegam ao ouvinte com uma taxa proporcional à soma (ou diferença) da velocidade do som e da velocidade do ouvinte em relação às frentes; assim a frequência aparente escala por
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula às duas fontes, escolhendo os sinais corretamente:
- Para a fonte de menor frequência (
), o ouvinte está se aproximando, logo
- Para a fonte de maior frequência (
), o ouvinte está se afastando (pois está entre as fontes e se aproxima da outra), logo
Queremos que as frequências aparentes sejam iguais, isto é
.
Passo 4
Escrevendo a igualdade e substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Usando
obtemos:
Agora desenvolvemos e isolamos
:
Passo 5
Simplificando a fração:
portanto
Substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida de consistência:
-
é muito menor que , então o uso da fórmula linear do efeito Doppler (observador movendo-se, fonte fixa) está apropriado. - A opção corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)