Um ouvinte desloca-se com velocidade constante em uma trajetória retilinea que interliga duas fontes sonoras imóveis, as quais emitem sons de frequências diferentes, aproximando-se da fonte de menor frequència. Sabendo-se que a razão entre as frequências é igual a 0,8 e que a velocidade de propagação do som no ar é de 333 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual deve ser a velocidade de deslocamento, em \mathrm{m} / \mathrm{s}, do ouvinte para que as frequèncias aparentes das duas fontes percebidas por ele sejam iguais?
a) 18,5
b) 37,0
c) 74,0
d. 148,0

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Duas fontes sonoras imóveis com frequências diferentes. A razão entre as frequências é \dfrac{f_L}{f_H}=0,8, onde f_L é a menor frequência e f_H a maior.
  • Um ouvinte desloca-se com velocidade constante numa trajetória retilínea que liga as duas fontes, aproximando‑se da fonte de menor frequência ( f_L).
  • A velocidade de propagação do som no ar é c=333\\ \mathrm{m/s}.
    O que se pede:
  • Determinar a velocidade do ouvinte (em \mathrm{m/s}) para que as frequências aparentes das duas fontes percebidas por ele sejam iguais.

Passo 2

Vamos definir variáveis e a fórmula que vamos usar:
  • c = velocidade do som no ar ( 333\\ \mathrm{m/s}).
  • v = velocidade do ouvinte (o que queremos achar).
  • f_L = frequência da fonte menor.
  • f_H = frequência da fonte maior, com \dfrac{f_L}{f_H}=0,8.
Para um observador em movimento e fonte fixa, a fórmula do efeito Doppler (para frequência percebida f') é:
f'=\frac{c\pm v}{c}\,f,
onde o sinal + é usado quando o observador se aproxima da fonte (a frequência percebida aumenta) e o sinal - quando o observador se afasta da fonte (a frequência percebida diminui). Vou explicar rapidamente por que: as frentes de onda chegam ao ouvinte com uma taxa proporcional à soma (ou diferença) da velocidade do som e da velocidade do ouvinte em relação às frentes; assim a frequência aparente escala por \dfrac{c\pm v}{c}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula às duas fontes, escolhendo os sinais corretamente:
  • Para a fonte de menor frequência ( f_L), o ouvinte está se aproximando, logo
f'_L=\frac{c+v}{c}\,f_L.
  • Para a fonte de maior frequência ( f_H), o ouvinte está se afastando (pois está entre as fontes e se aproxima da outra), logo
f'_H=\frac{c-v}{c}\,f_H.
Queremos que as frequências aparentes sejam iguais, isto é f'_L=f'_H.

Passo 4

Escrevendo a igualdade e substituindo \dfrac{f_L}{f_H}=0,8:
\frac{c+v}{c}\,f_L=\frac{c-v}{c}\,f_H.
Multiplicando ambos os lados por c e dividindo por f_H:
(c+v)\frac{f_L}{f_H}=c-v.
Usando \dfrac{f_L}{f_H}=0,8 obtemos:
0,8(c+v)=c-v.
Agora desenvolvemos e isolamos v:
0,8c+0,8v=c-v,
0,8v+v=c-0,8c,
1,8v=0,2c,
v=\frac{0,2}{1,8}\,c.

Passo 5

Simplificando a fração:
\frac{0,2}{1,8}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9},
portanto
v=\frac{1}{9}\,c.
Substituindo c=333\\ \mathrm{m/s}:
v=\frac{1}{9}\cdot 333\\ \mathrm{m/s}=37,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência:
  • v=37,0\\ \mathrm{m/s} é muito menor que c=333\\ \mathrm{m/s}, então o uso da fórmula linear do efeito Doppler (observador movendo-se, fonte fixa) está apropriado.
  • A opção corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 37,0\\ \mathrm{m/s}

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