Um carro popular é vendido nas seguintes condições: i) R$: 80.000,00 à vista; ii) 50% de entrada e R$: 60.000,00 em 1 (um) ano. Determine a taxa de juros composta mensal exigida na venda a prazo.

Passo 1

O enunciado dá duas opções de pagamento para o carro: à vista por R$ 80000 ou 50 % de entrada e R$ 60000 em um ano. O conteúdo é equivalência de capitais em juros compostos: queremos achar a taxa mensal i que torna o valor presente do plano a prazo igual a R$ 80000.

Passo 2

A entrada de 50 % sobre R$ 80000 é
\text{PV}_\text{entrada}=0{,}5\times 80000 = 40000
paga no instante zero.

Passo 3

O valor de R$ 60000 pago em um ano (12 meses) tem valor presente
\text{PV}_{60k} = \frac{60000}{(1+i)^{12}}.

Passo 4

Para equivalência ao preço à vista, soma-se as duas parcelas em valor presente:
40000 + \frac{60000}{(1+i)^{12}} = 80000.

Passo 5

Isolando o fator de capitalização:
\frac{60000}{(1+i)^{12}} = 80000 - 40000 = 40000 \quad\Longrightarrow\quad (1+i)^{12} = \frac{60000}{40000} = 1{,}5.

Passo 6

Extraindo a raiz décima-segunda:
1+i = 1{,}5^{\frac{1}{12}} \quad\Longrightarrow\quad i = 1{,}5^{\frac{1}{12}} - 1.

Passo 7

Calculando numericamente:
i \approx e^{\frac{\ln(1{,}5)}{12}} - 1 \approx 0{,}0344,
ou seja, aproximadamente 3{,}44\% ao mês.

Resposta

A taxa de juros composta mensal exigida é
i = 1{,}5^{\tfrac{1}{12}} - 1 \approx 3{,}44\%\text{ a.m.}

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