Questão 1 (1.25 pontos):
Resolva as integrais abaixo:
\iint_{R} y \cdot \operatorname{sen}(2 x) d A, onde R=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[-1,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{R} y \,\sin(2x)\,dA,
onde R = \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]\times[-1,2].
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como iterada, além de separar variáveis pois o integrando é produto de função só de x por função só de y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini temos
I = \int_{x=0}^{\pi/2}\!\int_{y=-1}^{2} y\,\sin(2x)\,dy\,dx.
Como \sin(2x) independe de y, podemos separar:
I = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)\,dx \;\times\; \int_{-1}^{2} y\,dy.

Passo 3

Calculamos a integral em y:
\int_{-1}^{2} y\,dy = \Bigl[\tfrac{1}{2}y^2\Bigr]_{-1}^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(2^2 - (-1)^2\bigr) = \tfrac{1}{2}(4 - 1) = \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora a integral em x. Usamos substituição u=2x, du=2\,dx, ou diretamente:
\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = -\tfrac{1}{2}\bigl(\cos\pi - \cos0\bigr) = -\tfrac{1}{2}(-1 - 1) = 1.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
I = \Bigl(\int_{-1}^{2} y\,dy\Bigr)\times \Bigl(\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)\,dx\Bigr) = \tfrac{3}{2}\times 1 = \tfrac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{2}

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