Determine a solução geral das seguintes EDOs.
3 x-y+2+(9 x-3 y+1) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
3x - y + 2 \;+\;(9x - 3y + 1)\,\frac{dy}{dx} \;=\;0.
Aqui temos uma EDO de primeira ordem que não é exata mas apresenta combinações lineares semelhantes em x e y. Vamos usar a substituição
z = 3x - y
para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Reescrevendo a EDO como
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{3x - y + 2}{9x - 3y + 1},
note que
3x - y + 2 = z + 2, \qquad 9x - 3y + 1 = 3\,(3x - y) + 1 = 3z + 1.
Logo
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{z + 2}{3z + 1}.

Passo 3

Calculamos \frac{dz}{dx} em função de \frac{dy}{dx}:
z = 3x - y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx} = 3 - \frac{dy}{dx} = 3 - \biggl(-\frac{z + 2}{3z + 1}\biggr) = 3 + \frac{z + 2}{3z + 1}.
Colocando sobre denominador comum têm-se
\frac{dz}{dx} = \frac{3(3z+1) + (z+2)}{3z+1} = \frac{9z+3 + z+2}{3z+1} = \frac{10z + 5}{3z+1} = 5\,\frac{2z+1}{3z+1}.

Passo 4

A equação para z(x) ficou separável:
\frac{dz}{dx} = 5\,\frac{2z+1}{3z+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3z+1}{2z+1}\,dz = 5\,dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Primeiro note que
\frac{3z+1}{2z+1} = \frac{3}{2} - \frac{1/2}{2z+1}.
Assim
\int \frac{3z+1}{2z+1}\,dz = \int \biggl(\frac{3}{2} - \frac{1/2}{2z+1}\biggr)dz = \frac{3}{2}z - \frac{1}{4}\ln\bigl|2z+1\bigr| + C_1.
Do lado direito
\int 5\,dx = 5x + C_2.
Igualando e absorvendo constantes em uma só, obtemos
\frac{3}{2}z - \frac{1}{4}\ln\bigl|2z+1\bigr| = 5x + C.

Passo 6

Substituindo de volta z = 3x - y e multiplicando tudo por 4 para limpar frações:
6\,(3x - y) - \ln\bigl|2(3x - y) + 1\bigr| = 20x + C',
ou seja
18x - 6y - \ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| = 20x + C'.
Reordenando e definindo C''=-C', vem
2x + 6y + \ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| = C'',
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
2x + 6y + \ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| = C,
onde C é constante arbitrária.

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