Um reservatório de 500 litros, inicialmente contém 100 litros de água fresca. Começando no instante t=0, escoa para o reservatório água contendo 50 \% de poluidores, à taxa de 2 litros / \mathrm{min}. Há também um escoamento que ocorre à taxa de 1 litro/min. Considere a mistura bem agitada e determine a concentração de poluidores no instante de transbordamento.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório com capacidade de 500 L que, a partir de t=0, recebe água com 50\% de poluidores a 2 L/min e drena a 1 L/min, com mistura perfeita. Inicialmente há 100 L de água limpa. O objetivo é achar a concentração de poluidores no instante em que o volume atinge 500 L (transbordamento). Para isso, vamos (1) modelar o volume V(t), (2) escrever a equação para a quantidade de poluidores X(t), (3) resolver a equação diferencial de primeira ordem e (4) calcular a concentração em t de transbordo.

Passo 2

O volume do reservatório varia segundo a diferença entre vazão de entrada e saída:
V(t)=100 + (2-1)\,t = 100 + t\quad(\text{em litros}).
O transbordo ocorre quando V(t)=500, isto é,
100 + t = 500 \quad\Longrightarrow\quad t_{\text{trans}} = 400\\ \text{min}.

Passo 3

Denotemos por X(t) a quantidade de poluidores (em litros de poluidores) no reservatório em t. A taxa de variação \frac{dX}{dt} é
\frac{dX}{dt} =\underbrace{(2\\ \mathrm{L/min})\times 0{,}5}_{\text{entrada de poluidor}} -\underbrace{(1\\ \mathrm{L/min})\times\frac{X(t)}{V(t)}}_{\text{saída de poluidor}} =1 - \frac{X(t)}{100 + t}.í
Temos, portanto, a equação linear
\frac{dX}{dt} + \frac{1}{100+t}\,X = 1, \quad X(0)=0.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\biggl(\int\frac{1}{100+t}\,dt\biggr) =\exp\bigl(\ln(100+t)\bigr)=100+t.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
(100+t)\,\frac{dX}{dt} + X = 100+t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl[(100+t)\,X\bigr] = 100+t.
Integrando,
(100+t)\,X = \int(100+t)\,dt = 100t + \tfrac{t^2}{2} + C.
Como X(0)=0, temos C=0. Logo
X(t)=\frac{100t + \tfrac{t^2}{2}}{100+t}.

Passo 5

A concentração de poluidores no reservatório é
c(t)=\frac{X(t)}{V(t)} =\frac{\displaystyle 100t + \tfrac{t^2}{2}}{(100+t)^2}.
Em t=400 min,
X(400)=\frac{100\cdot 400 + \tfrac{400^2}{2}}{500} =\frac{40\,000 + 80\,000}{500} =\frac{120\,000}{500}=240
e
V(400)=500,
então
c(400)=\frac{240}{500}=0{,}48.

Resposta

A concentração de poluidores no transbordamento é 48\%.

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