Um empréstimo de R$ 21.000,00 deve ser pago em três parcelas mensais, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal. A taxa acordada para a operação foi de 10% a.m. Determine os juros bem como a amortização usando os sistemas FRANCÊS (SF), DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA), seguindo os esquemas abaixo:
SA
PERÍODO
SAQUE
SALDO INICIAL
PAGAMENTO
SALDO FINAL
Juros
Amortização
Total
0
1
2
3
SA
| PERÍODO | SAQUE | SALDO INICIAL | PAGAMENTO | SALDO FINAL | ||
| Juros | Amortização | Total | ||||
| 0 | ||||||
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma bem clara):
- Montante emprestado (principal):
. - Número de parcelas:
(mensais). - Taxa de juros por mês:
(ou seja, a.m.). - A primeira parcela vence 30 dias após a liberação (então as parcelas são mensais, nos períodos
).
O que o enunciado pede: - Determinar, para cada um dos três sistemas pedidos — FRANCÊS (SF), AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA) — as parcelas mensais, e em cada período separar quanto é juros e quanto é amortização, mostrando também o saldo final após cada pagamento.
Passo 2
Breve explicação das contas que vou usar (conceitos e fórmulas, bem mastigadas).
- Saldo inicial: é o que ainda devo antes de pagar a parcela do período.
- Juros do período
: é a taxa multiplicada pelo saldo inicial desse período, Aqui . - Amortização do período
: é a parte da parcela que reduz o principal (varia conforme o sistema). - Parcela total do período
: é a soma . - Saldo final do período
: .
Vou aplicar essas ideias separadamente para cada sistema, explicando a fórmula de cada um e calculando passo a passo.
Passo 3
Sistema FRANCÊS (SF) — explicação do método.
- No SF as parcelas são constantes (tudo igual em cada mês). Denotamos a parcela constante por
. - A fórmula padrão (anuidade) para a parcela constante é
Nesta fórmula: -
é o principal ( ); -
é a taxa por período ( ); -
é o número de períodos ( ).
-
- Vou calcular
usando números exatos quando possível.
Passo 4
Cálculo da parcela
no SF (contas passo a passo).
- Primeiro calcular
: - Substituindo na fórmula:
- Simplificando:
(a forma útil é ) - Fazendo a divisão e multiplicação obtemos (arredondando para centavos):
Ou seja, no SF a parcela fixa mensal é .
Passo 5
Montando o quadro do SF (cálculos de cada período, com arredondamento monetário a centavos).
- Período 1:
- Saldo inicial:
. - Juros:
. - Amortização:
. - Saldo final:
.
- Saldo inicial:
- Período 2:
- Saldo inicial:
. - Juros:
(arredondado). - Amortização:
. - Saldo final:
.
- Saldo inicial:
- Período 3:
- Saldo inicial:
. - Juros:
(arredondado). - Amortização:
. - Saldo final:
.
- Saldo inicial:
- Observação pedagógica: ao arredondar centavos, ajuste-se o último amortecimento para zerar exatamente o saldo (aqui os arredondamentos deram exatamente zero no fim).
Passo 6
Resumo numérico do SF (para consulta rápida):
- Parcela fixa
. - Juros por período:
, , . - Amortizações:
, , . - Saldos:
.
Passo 7
Sistema de Amortização Constante (SAC) — explicação do método.
- No SAC a amortização é constante em todos os períodos e igual a
- A cada período os juros caem porque o saldo diminui, então a parcela (juros + amortização) vai diminuindo ao longo do tempo.
Passo 8
Cálculo no SAC (passo a passo).
- Amortização constante:
- Período 1:
- Saldo inicial:
. - Juros:
. - Parcela total:
. - Saldo final:
.
- Saldo inicial:
- Período 2:
- Saldo inicial:
. - Juros:
. - Parcela total:
. - Saldo final:
.
- Saldo inicial:
- Período 3:
- Saldo inicial:
. - Juros:
. - Parcela total:
. - Saldo final:
.
- Saldo inicial:
Passo 9
Resumo numérico do SAC (consulta rápida):
- Amortização constante:
por mês. - Parcelas (juros + amortização):
, , . - Juros por período:
, , . - Saldos:
.
Passo 10
Sistema AMERICANO (SA) — explicação do método.
- No SA (método americano) paga-se apenas os juros nos períodos intermediários, e o principal é pago integralmente na última parcela.
- Portanto, para cada período
anterior ao último: No último período:
Passo 11
Cálculo no SA (passo a passo com números).
- Juros fixos por período (enquanto o saldo for
): - Período 1:
- Juros:
; Amortização: ; Parcela total: ; Saldo final: .
- Juros:
- Período 2:
- Juros:
; Amortização: ; Parcela total: ; Saldo final: .
- Juros:
- Período 3 (último):
- Juros:
; Amortização: ; Parcela total: ; Saldo final: .
- Juros:
Passo 12
Resumo numérico do SA:
- Pagamentos:
, , . - Juros totais pagos (soma):
. - Amortização: zero nos dois primeiros meses,
no terceiro.
Resposta
SF (Francês, parcelas constantes):
Período 1: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 2: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 3: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 1: Juros =
Período 2: Juros =
Período 3: Juros =
SAC (Amortização constante):
Período 1: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 2: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 3: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 1: Juros =
Período 2: Juros =
Período 3: Juros =
SA (Americano):
Período 1: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 2: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 3: Juros = , Amortização =
, Parcela =
, Saldo final =
Período 1: Juros =
Período 2: Juros =
Período 3: Juros =