Um empréstimo de R$ 21.000,00 deve ser pago em três parcelas mensais, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal. A taxa acordada para a operação foi de 10% a.m. Determine os juros bem como a amortização usando os sistemas FRANCÊS (SF), DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA), seguindo os esquemas abaixo:
SA
PERÍODO SAQUE SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL
Juros Amortização Total
0
1
2
3

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma bem clara):
  • Montante emprestado (principal): P = 21.000.
  • Número de parcelas: n = 3 (mensais).
  • Taxa de juros por mês: i = 0,10 (ou seja, 10\% a.m.).
  • A primeira parcela vence 30 dias após a liberação (então as parcelas são mensais, nos períodos 1,2,3).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar, para cada um dos três sistemas pedidos — FRANCÊS (SF), AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA) — as parcelas mensais, e em cada período separar quanto é juros e quanto é amortização, mostrando também o saldo final após cada pagamento.

Passo 2

Breve explicação das contas que vou usar (conceitos e fórmulas, bem mastigadas).
  • Saldo inicial: é o que ainda devo antes de pagar a parcela do período.
  • Juros do período k: é a taxa multiplicada pelo saldo inicial desse período, \text{Juros}_k = \text{Saldo}_{k-1}\cdot i.Aqui \text{Saldo}_0 = P.
  • Amortização do período k: é a parte da parcela que reduz o principal (varia conforme o sistema).
  • Parcela total do período k: é a soma \text{Juros}_k + \text{Amortização}_kçã.
  • Saldo final do período k: \text{Saldo}_k = \text{Saldo}_{k-1} - \text{Amortização}_kçã.
Vou aplicar essas ideias separadamente para cada sistema, explicando a fórmula de cada um e calculando passo a passo.

Passo 3

Sistema FRANCÊS (SF) — explicação do método.
  • No SF as parcelas são constantes (tudo igual em cada mês). Denotamos a parcela constante por A.
  • A fórmula padrão (anuidade) para a parcela constante é A = P\cdot\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.Nesta fórmula:
    • P é o principal ( 21.000);
    • i é a taxa por período ( 0,10);
    • n é o número de períodos ( 3).
  • Vou calcular A usando números exatos quando possível.

Passo 4

Cálculo da parcela A no SF (contas passo a passo).
  • Primeiro calcular (1+i)^{n}: (1+i)^{n} = (1{,}10)^{3} = 1{,}331.
  • Substituindo na fórmula: A = 21.000\cdot\frac{0{,}10\cdot 1{,}331}{1{,}331-1} = 21.000\cdot\frac{0{,}1331}{0{,}331}.
  • Simplificando: A = 21.000\cdot\frac{1331}{331}\cdot 0{,}01 = 2.100\cdot\frac{1331}{331}.(a forma útil é A = 2.100\cdot \dfrac{1331}{331})
  • Fazendo a divisão e multiplicação obtemos (arredondando para centavos): A \approx 8.444{,}41.Ou seja, no SF a parcela fixa mensal é \text{Parcela}= \, \mathbf{8.444{,}41}.

Passo 5

Montando o quadro do SF (cálculos de cada período, com arredondamento monetário a centavos).
  • Período 1:
    • Saldo inicial: \text{Saldo}_0 = 21.000{,}00.
    • Juros: \text{Juros}_1 = 21.000{,}00\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00.
    • Amortização: \text{Amort}_1 = A - \text{Juros}_1 = 8.444{,}41 - 2.100{,}00 = 6.344{,}41.
    • Saldo final: \text{Saldo}_1 = 21.000{,}00 - 6.344{,}41 = 14.655{,}59.
  • Período 2:
    • Saldo inicial: \text{Saldo}_1 = 14.655{,}59.
    • Juros: \text{Juros}_2 = 14.655{,}59\cdot 0{,}10 = 1.465{,}56 (arredondado).
    • Amortização: \text{Amort}_2 = 8.444{,}41 - 1.465{,}56 = 6.978{,}85.
    • Saldo final: \text{Saldo}_2 = 14.655{,}59 - 6.978{,}85 = 7.676{,}74.
  • Período 3:
    • Saldo inicial: \text{Saldo}_2 = 7.676{,}74.
    • Juros: \text{Juros}_3 = 7.676{,}74\cdot 0{,}10 = 767{,}67 (arredondado).
    • Amortização: \text{Amort}_3 = 8.444{,}41 - 767{,}67 = 7.676{,}74.
    • Saldo final: \text{Saldo}_3 = 7.676{,}74 - 7.676{,}74 = 0{,}00.
  • Observação pedagógica: ao arredondar centavos, ajuste-se o último amortecimento para zerar exatamente o saldo (aqui os arredondamentos deram exatamente zero no fim).

Passo 6

Resumo numérico do SF (para consulta rápida):
  • Parcela fixa A = 8.444{,}41.
  • Juros por período: 2.100{,}00, 1.465{,}56, 767{,}67.
  • Amortizações: 6.344{,}41, 6.978{,}85, 7.676{,}74.
  • Saldos: 21.000{,}00 \to 14.655{,}59 \to 7.676{,}74 \to 0{,}00.

Passo 7

Sistema de Amortização Constante (SAC) — explicação do método.
  • No SAC a amortização é constante em todos os períodos e igual a \text{Amortização constante} = \frac{P}{n}.çã
  • A cada período os juros caem porque o saldo diminui, então a parcela (juros + amortização) vai diminuindo ao longo do tempo.

Passo 8

Cálculo no SAC (passo a passo).
  • Amortização constante: \text{Amortização} = \frac{21.000}{3} = 7.000{,}00.çã
  • Período 1:
    • Saldo inicial: 21.000{,}00.
    • Juros: 21.000{,}00\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00.
    • Parcela total: 2.100{,}00 + 7.000{,}00 = 9.100{,}00.
    • Saldo final: 21.000{,}00 - 7.000{,}00 = 14.000{,}00.
  • Período 2:
    • Saldo inicial: 14.000{,}00.
    • Juros: 14.000{,}00\cdot 0{,}10 = 1.400{,}00.
    • Parcela total: 1.400{,}00 + 7.000{,}00 = 8.400{,}00.
    • Saldo final: 14.000{,}00 - 7.000{,}00 = 7.000{,}00.
  • Período 3:
    • Saldo inicial: 7.000{,}00.
    • Juros: 7.000{,}00\cdot 0{,}10 = 700{,}00.
    • Parcela total: 700{,}00 + 7.000{,}00 = 7.700{,}00.
    • Saldo final: 7.000{,}00 - 7.000{,}00 = 0{,}00.

Passo 9

Resumo numérico do SAC (consulta rápida):
  • Amortização constante: 7.000{,}00 por mês.
  • Parcelas (juros + amortização): 9.100{,}00, 8.400{,}00, 7.700{,}00.
  • Juros por período: 2.100{,}00, 1.400{,}00, 700{,}00.
  • Saldos: 21.000{,}00 \to 14.000{,}00 \to 7.000{,}00 \to 0{,}00.

Passo 10

Sistema AMERICANO (SA) — explicação do método.
  • No SA (método americano) paga-se apenas os juros nos períodos intermediários, e o principal é pago integralmente na última parcela.
  • Portanto, para cada período k anterior ao último: \text{Juros}_k = P\cdot i,\qquad \text{Amortização}_k = 0.çãNo último período: \text{Juros}_n = P\cdot i,\qquad \text{Amortização}_n = P.çã

Passo 11

Cálculo no SA (passo a passo com números).
  • Juros fixos por período (enquanto o saldo for P): \text{Juros por mês} = 21.000\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00.ê
  • Período 1:
    • Juros: 2.100{,}00; Amortização: 0{,}00; Parcela total: 2.100{,}00; Saldo final: 21.000{,}00.
  • Período 2:
    • Juros: 2.100{,}00; Amortização: 0{,}00; Parcela total: 2.100{,}00; Saldo final: 21.000{,}00.
  • Período 3 (último):
    • Juros: 2.100{,}00; Amortização: 21.000{,}00; Parcela total: 23.100{,}00; Saldo final: 0{,}00.

Passo 12

Resumo numérico do SA:
  • Pagamentos: 2.100{,}00, 2.100{,}00, 23.100{,}00.
  • Juros totais pagos (soma): 2.100{,}00\cdot 3 = 6.300{,}00.
  • Amortização: zero nos dois primeiros meses, 21.000{,}00 no terceiro.

Resposta

SF (Francês, parcelas constantes):
Período 1: Juros = 2.100{,}00, Amortização = 6.344{,}41, Parcela = 8.444{,}41, Saldo final = 14.655{,}59
Período 2: Juros = 1.465{,}56, Amortização = 6.978{,}85, Parcela = 8.444{,}41, Saldo final = 7.676{,}74
Período 3: Juros = 767{,}67, Amortização = 7.676{,}74, Parcela = 8.444{,}41, Saldo final = 0{,}00
SAC (Amortização constante):
Período 1: Juros = 2.100{,}00, Amortização = 7.000{,}00, Parcela = 9.100{,}00, Saldo final = 14.000{,}00
Período 2: Juros = 1.400{,}00, Amortização = 7.000{,}00, Parcela = 8.400{,}00, Saldo final = 7.000{,}00
Período 3: Juros = 700{,}00, Amortização = 7.000{,}00, Parcela = 7.700{,}00, Saldo final = 0{,}00
SA (Americano):
Período 1: Juros = 2.100{,}00, Amortização = 0{,}00, Parcela = 2.100{,}00, Saldo final = 21.000{,}00
Período 2: Juros = 2.100{,}00, Amortização = 0{,}00, Parcela = 2.100{,}00, Saldo final = 21.000{,}00
Período 3: Juros = 2.100{,}00, Amortização = 21.000{,}00, Parcela = 23.100{,}00, Saldo final = 0{,}00

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