Uma espaçonave se aproxima da Terra com velocidade constante v=0,60 c
em relação ao planeta. Uma lâmpada é acesa no centro da espaçonave, que tem comprimento L em seu referencial próprio. Para um observador em repouso na Terra, a luz da lâmpada atinge a frente e o fundo da nave:
com diferença de tempo \Delta t=0,75 \frac{L}{c}, chegando primeiro ao fundo da nave.
com diferença de tempo \Delta t=0,75 \frac{L}{c}, chegando primeiro à frente da nave.
com diferença de tempo \Delta t=1,5 \frac{L}{c}, chegando primeiro ao fundo da nave.
com diferença de tempo \Delta t=1,5 \frac{L}{c}, chegando primeiro à frente da nave.
simultaneamente.

Passo 1

O enunciado diz que uma espaçonave de comprimento próprio L move-se com velocidade v=0{,}6\,c em relação à Terra e, no instante em que uma lâmpada no centro da nave acende, queremos saber para o observador terrestre qual é a diferença de tempo \Delta t entre os instantes em que a luz atinge a dianteira (front) e a traseira (fundo) da nave, e qual chega primeiro. Para resolver, vamos usar:
  1. Contração de comprimentos na direção do movimento.
  2. Cinemática da luz e dos detectores em movimento: tempos dados por distância inicial sobre velocidade relativa (feixe de luz versus detector).

Passo 2

Calcular a contração de comprimento na Terra. A fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = 1{,}25
Logo o comprimento medido na Terra é
L' = \frac{L}{\gamma} = 0{,}8\,L.

Passo 3

Determinar o tempo para a luz chegar ao fundo da nave. Na Terra, a luz vai para trás (sentido oposto ao do movimento) com velocidade c e o fundo da nave se move para a direita com velocidade v, aproximando-se da luz. A distância inicial entre o ponto do lampejo (centro) e o fundo é
d_{\text{fundo}} = \frac{L'}{2} = 0{,}4\,L.
A velocidade de fechamento entre luz e fundo é c + v = c + 0{,}6c = 1{,}6c. Então
t_{\text{fundo}} = \frac{d_{\text{fundo}}}{c + v} = \frac{0{,}4\,L}{1{,}6\,c} = 0{,}25\,\frac{L}{c}.

Passo 4

Determinar o tempo para a luz chegar à dianteira da nave. A luz vai para a frente (mesma direção do movimento) e a dianteira se afasta da luz. A distância inicial é a mesma,
d_{\text{frente}} = 0{,}4\,L,
e a velocidade de afastamento efetiva é c - v = c - 0{,}6c = 0{,}4c. Assim
t_{\text{frente}} = \frac{d_{\text{frente}}}{c - v} = \frac{0{,}4\,L}{0{,}4\,c} = 1\,\frac{L}{c}.

Passo 5

Calcular a diferença de tempo e determinar quem chega primeiro. Temos
\Delta t = t_{\text{frente}} - t_{\text{fundo}} = 1\,\frac{L}{c} \;-\; 0{,}25\,\frac{L}{c} = 0{,}75\,\frac{L}{c}.
Como t_{\text{fundo}} < t_{\text{frente}}, a luz atinge primeiro o fundo da nave.

Resposta

com diferença de tempo \Delta t = 0{,}75\,\dfrac{L}{c}, chegando primeiro ao fundo da nave.

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