1. 2 x^prime prime(t)-2 x^prime(t)-4 x(t)=2 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2,x''(t)-2,x'(t)-4,x(t)=2,e^2t
O conteúdo envolve método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular que se ajusta ao termo forçante.

Passo 2

A homogênea associada é
2,x''-2,x'-4,x=0
Escrevendo a equação característica em r:
2r^2-2r-4=0;Longrightarrow;r^2-r-2=0;Longrightarrow;r=1pmraiz1+82=2,,-1
Logo a solução complementar é
xh(t)=C1e^2t+C2e^-t

Passo 3

Para a parte particular, como o forçante é 2e^2t e r=2 já é raiz simples da homogênea, fazemos a tentativa
xp(t)=A,t,e^2t
Calculamos as derivadas:
xp'=A,e^2t(1+2t), xp''=A,e^2tl(4+4tr)=4A,e^2t(1+t)
Substituindo em 2x''-2x'-4x:
2xp''-2xp'-4xp =2cdot4A,e^2t(1+t)-2cdot A,e^2t(1+2t)-4cdot A,t,e^2t =6A,e^2t
Queremos 6A,e^2t=2,e^2t, então 6A=2 e
A=tfrac13
Assim
xp(t)=tfrac13,t,e^2t

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma das partes complementar e particular:
x(t)=xh(t)+xp(t) =C1e^2t+C2e^-t+tfrac13,t,e^2t

Resposta

boxedx(t)=C1e^2t+C2e^-t+13,t,e^2t

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