Um carro vale \mathrm{R} \ 40.000 e desvaloriza15 %$ ao ano.
a) Função V(t)= \qquad
b) Tempo para valer \mathrm{R} \ 20.000 :\qquad$ anos

Passo 1

O enunciado diz que um carro custa inicialmente \mathrm{R}\$40\,000 e desvaloriza a uma taxa de 15\% ao ano. Aqui o conteúdo é modelo de decaimento exponencial: a cada ano o valor é multiplicado por um fator menor que 1.

Passo 2

No modelo de depreciação exponencial, o valor no tempo t (em anos) é dado por
V(t)=V_0\,(1-\text{taxa})^t,
onde V_0 é o valor inicial e “taxa” é a fração de perda por ano.

Passo 3

Substituindo V_0=40000 e \text{taxa}=0,15, obtemos
V(t)=40000\,(1-0,15)^t=40000\,(0,85)^t.

Passo 4

Para achar t quando V(t)=20000, resolvemos
40000\,(0,85)^t=20000 \quad\Longrightarrow\quad (0,85)^t=\tfrac{20000}{40000}=0,5.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
t=\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,85)}.

Passo 5

Calculando numericamente,
t=\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,85)}\approx\frac{-0,6931}{-0,1625}\approx4,27.
Ou seja, cerca de 4{,}3 anos.

Resposta

a) V(t)=40000\,(0,85)^t
b) t=\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,85)}\approx4{,}27 anos

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