Encontre, se existir, um valor de c em cada caso, de tal maneira que as funções se tornem contínuas em x=0\). \(f(x)= \begin{cases}x+c, & x<0 \\\ \cos x, & x \geq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \begin{cases} x + c, & x < 0,\\\ \cos x, & x \ge 0, \end{cases}
e pede para determinar c de modo que f seja contínua em x=0. O conteúdo envolvido é o conceito de continuidade, que requer que os limites laterais em x=0 sejam iguais e coincidam com o valor da função.

Passo 2

Para x\ge0, a função está dada por \cos x. Logo,
f(0)=\cos 0 = 1
e o limite lateral pela direita também é
\lim_{x\to0^+}f(x)=1.

Passo 3

Para x<0, a função é x+c. Assim,
\lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+c) = c.

Passo 4

Para continuidade em x=0, devemos ter
\lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x) = f(0).
Isto é,
c = 1.

Resposta

c = 1

Exercícios relacionados