Uma cultura de bactérias dobra a cada 3 horas. Se começou com 50 bactérias:
a) Escreva a fórmula N(t) :
b) Número de bactérias após 12 horas:
c) Tempo para atingir 1600 bactérias:

Passo 1

O enunciado diz que temos uma cultura de bactérias que dobra em tamanho a cada 3 horas, começando com 50 bactérias. O conteúdo aqui é crescimento exponencial discreto, em que o número de bactérias depois de t horas é dado por uma potência de base 2 (pois “dobrar” equivale a multiplicar por 2) ajustada ao intervalo de tempo de 3 horas.

Passo 2

Para obter a fórmula geral, usamos que a cada 3 horas o fator de multiplicação é 2. Se N_0=50 é o número inicial, então em t horas temos
N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3}}.
Substituindo N_0=50, a fórmula fica
N(t) = 50 \cdot 2^{\frac{t}{3}}.

Passo 3

Para o número de bactérias após 12 horas, basta pôr t=12 na fórmula:
N(12) = 50 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 50 \cdot 2^4 = 50 \cdot 16 = 800.

Passo 4

Para achar o tempo t necessário para atingir 1600 bactérias, resolvemos
50 \cdot 2^{\frac{t}{3}} = 1600.
Primeiro isolamos a potência:
2^{\frac{t}{3}} = \frac{1600}{50} = 32 = 2^5.
Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:
\frac{t}{3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad t = 15\text{ horas}.

Resposta

(a) N(t) = 50 \cdot 2^{\frac{t}{3}}
(b) N(12) = 800
(c) t = 15 horas

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