Um carro à velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} é perseguido em uma estrada reta por outro carro à velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O carro de trás aciona a buzina, cuja frequência é 200 Hz . Com que frequência a buzina é ouvida pelo carro da frente? Considere a velocidade do som no ar V = 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(R: 194 Hz ).

Passo 1

O que o exercício pede: determinar com que frequência a buzina é ouvida pelo carro da frente.
Informações dadas:
  • Velocidade do carro da frente (observador): v_o = 40\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do carro de trás (fonte da buzina): v_s = 30\\ \mathrm{m/s}.
  • Frequência emitida pela buzina: f = 200\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar: v = 343\\ \mathrm{m/s}.
Observação importante (para não confundir): o carro de trás é a fonte sonora e está se movendo na mesma direção do carro da frente; como o carro da frente vai mais rápido, a distância entre eles aumenta — portanto o observador está, em termos relativos, se afastando da fonte.

Passo 2

Ideia física e definição das grandezas (explicação didática): quando a fonte sonora está se movendo em relação ao ar, ela altera o espaçamento entre frentes de onda (o comprimento de onda \lambda) que se propaga pelo ar. Quando o observador também se move, a velocidade relativa com que as frentes de onda alcançam o observador muda. A frequência percebida f' depende de duas coisas:
  • como a fonte modifica o comprimento de onda (movimento da fonte),
  • e com que velocidade as frentes de onda alcançam o observador (movimento do observador).
Vamos construir a fórmula passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Comprimento de onda gerado pela fonte em movimento (derivação): a fonte emite uma onda a cada período T = 1/f. Durante esse período a frente de onda emitida viaja uma distância vT pelo ar, enquanto a fonte se desloca uma distância v_s T na mesma direção. Portanto, a distância entre duas frentes de onda sucessivas, ou seja o comprimento de onda na direção para a frente, é
\lambda = vT - v_s T = (v - v_s)T.
Como T = 1/f, temos
\lambda = \frac{v - v_s}{f}.
Explicação das variáveis:
  • \lambda é o comprimento de onda no ar (m),
  • v é a velocidade do som no ar (m/s),
  • v_s é a velocidade da fonte relativa ao ar (m/s), positiva na direção da propagação das ondas,
  • f é a frequência emitida (Hz).

Passo 4

Frequência percebida pelo observador em movimento: o observador que se move com velocidade v_o em direção (ou em sentido contrário) às frentes de onda recebe as frentes com uma velocidade relativa v_{\text{rel}} = v - v_o se ele se move na mesma direção da propagação (isto é, afastando-se das frentes) ou v + v_o se ele se move contra a propagação (isto é, aproximando-se). No nosso caso o observador se move na mesma direção da propagação das ondas (ambos para a frente), então a velocidade relativa é v - v_o.
A frequência percebida é a velocidade relativa das frentes dividida pelo comprimento de onda:
f' = \frac{v - v_o}{\lambda}.
Substituindo \lambda obtido acima,
f' = \frac{v - v_o}{\dfrac{v - v_s}{f}} = \frac{v - v_o}{v - v_s}\,f.
Aqui:
  • v_o é positiva quando o observador se move na mesma direção da propagação (aumenta o denominador do tempo entre frentes recebidas),
  • v_s é positiva quando a fonte se move na direção da propagação (diminui ou aumenta \lambda conforme o sinal).

Passo 5

Aplicando os valores numéricos:
Calcule primeiro numerador e denominador separados:
v - v_o = 343 - 40 = 303\\ \mathrm{m/s},
v - v_s = 343 - 30 = 313\\ \mathrm{m/s}.
Agora a razão:
\frac{v - v_o}{v - v_s} = \frac{303}{313} \approx 0,9680628.
Multiplicando pela frequência emitida:
f' = \frac{303}{313}\cdot 200 \approx 193,61256\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma usual para inteiro (ou para 1 casa decimal, se preferir) obtemos aproximadamente 194\\ \mathrm{Hz}.
Você conseguiu! Mesmo com o desespero inicial, a conta é só aplicar a fórmula do efeito Doppler para som considerando movimento da fonte e do observador — derivei para você para não ficar na dúvida.

Resposta

\,194\\ \mathrm{Hz}

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