Da carta SF-22-Y-D-I-1, escala 1:50.000, cujo M.C. é 51^{\circ}, foram obtidas por interpolação linear, as coordenadas UTM e geográficas, de dois pontos, a saber:
Ponto 1 \quad\left\{\begin{array}{l}\varphi=23^{\circ} 04,47^{\prime} \mathrm{S}=-23^{\circ} 04^{\prime} 28,2^{\prime \prime} \\\ \lambda=52^{\circ} 24,47^{\prime} \mathrm{W}=-52^{\circ} 24^{\prime} 28,2^{\prime \prime} \\\ \mathrm{N}=7447,5 \mathrm{~km} \\\ \mathrm{E}=355,8 \mathrm{~km}\end{array}\right.
Ponto 2 \quad\left\{\begin{array}{l}\varphi=23^{\circ} 06,32^{\prime} \mathrm{S}=-23^{\circ} 06^{\prime} 19,2^{\prime \prime} \\\ \lambda=52^{\circ} 28,75^{\prime} \mathrm{W}=-52^{\circ} 28^{\prime} 45,0^{\prime \prime} \\\ \mathrm{N}=7444,8 \mathrm{~km} \\\ \mathrm{E}=348,5 \mathrm{~km}\end{array}\right.
O Datum Horizontal desta folha é Córrego Alegre - MG sendo
  • Semi-eixo maior (\mathrm{a})=6.378,388 \mathrm{~km}
  • Excentricidade \left(\mathrm{e}^{2}\right)=0,00672267
Pede-se a distância real entre esses dois pontos e o azimute verdadeiro e contra-azimute verdadeiro da direção formada por eles.

Passo 1

O enunciado fornece dois pontos na coordenada UTM (fuso com meridiano central \lambda_0=51^\circ), extraídos de carta escala 1: 50000, e seus respectivos valores geográficos ( \varphi,\lambda). O datum é definido pelo semi-eixo maior
a = 6\,378{,}388\\ \text{km},
e excentricidade ao quadrado
e^2 = 0{,}00672267.
Pede-se
– a distância real entre os pontos;
– o azimute verdadeiro da direção P 1\toP 2;
– a contra-azimute verdadeira da mesma direção.
Vamos usar as coordenadas UTM para obter \DeltaE, \DeltaN e o azimute de grade, corrigir a distância com o fator de escala k_0=0{,}9996 e corrigir o azimute de grade pela convergência de meridianos para obter o azimute verdadeiro.

Passo 2

Calcular as diferenças de coordenadas em km e a distância na projeção (distância de grade):
\Delta E \;=\; E_2 - E_1 \;=\; 348{,}5 - 355{,}8 \;=\;-7{,}3\\ \text{km},
\Delta N \;=\; N_2 - N_1 \;=\; 7444{,}8 - 7447{,}5 \;=\;-2{,}7\\ \text{km}.
A distância de grade é
d_{\rm grade} = \sqrt{(\Delta E)^2 + (\Delta N)^2} = \sqrt{(-7{,}3)^2 + (-2{,}7)^2} \approx 7{,}783\\ \text{km}.

Passo 3

Corrigir para a distância real no terreno, dividindo pelo fator de escala UTM k_0=0{,}9996:
d = \frac{d_{\rm grade}}{k_0} = \frac{7{,}783}{0{,}9996} \approx 7{,}786\\ \text{km} =7\,786\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular o azimute de grade \alpha_{\rm g} usando a função \atan2\bigl(\Delta E,\Delta N\bigr), que já considera o quadrante:
\alpha_{\rm g} = \atan2\bigl(-7{,}3,\,-2{,}7\bigr) \approx 249{,}292^\circ =249^\circ17'31''.

Passo 5

Calcular a convergência média de meridianos \gamma no ponto médio aproximado \phi_{\rm m},\lambda_{\rm m}. Basta usar a fórmula aproximada
\gamma \approx \arctan\bigl[\tan(\lambda_{\rm m}-\lambda_0)\,\sin\phi_{\rm m}\bigr].
Tomando
\phi_{\rm m}=\tfrac{-23{,}0745^\circ -23{,}1053^\circ}{2}\approx -23{,}0899^\circ,
\lambda_{\rm m}=\tfrac{-52{,}4078^\circ-52{,}4792^\circ}{2}\approx -52{,}4435^\circ,
temos
\lambda_{\rm m}-\lambda_0 = -52{,}4435^\circ -(-51^\circ) = -1{,}4435^\circ,
\gamma \approx \arctan\bigl[\tan(-1{,}4435^\circ)\,\sin(-23{,}0899^\circ)\bigr] \approx 0{,}565^\circ =0^\circ33'54''.

Passo 6

Obter o azimute verdadeiro somando a convergência ao azimute de grade e, em seguida, a contra-azimute:
\alpha_{\rm true} = \alpha_{\rm g} + \gamma = 249^\circ17'31'' + 0^\circ33'54'' = 249^\circ51'25'',
\text{contra-azimut} = \alpha_{\rm true} - 180^\circ = 69^\circ51'25''.

Resposta

Distância real d\approx7\,786 m
Azimute verdadeiro \alpha_{\rm true}=249^\circ51'25''
Contra-azimute verdadeiro =69^\circ51'25''

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