QUESTÃO 1. Calcule as integrais:
\int(\ln x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int (\ln x)^{3}\,dx.
Aqui o conteúdo que vamos usar é a técnica de integração por partes, já que temos uma função de x (no caso (\ln x)^{3}) multiplicada por 1. Lembrando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
vamos escolher u e dv de forma conveniente para reduzir a potência de \ln x.

Passo 2

Escolhemos
u = (\ln x)^{3}, \quad dv = dx.
Então
du = 3(\ln x)^{2}\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v = x.
Aplicando integração por partes,
\int (\ln x)^{3}\,dx = x\,(\ln x)^{3} - \int x\cdot 3(\ln x)^{2}\,\frac{1}{x}\,dx = x(\ln x)^{3} - 3 \int (\ln x)^{2}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos de
\displaystyle \int (\ln x)^{2}\,dx.
Usamos de novo integração por partes com
u = (\ln x)^{2}, \quad dv = dx,
du = 2(\ln x)\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v = x.
Então
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - \int x\cdot 2(\ln x)\,\frac{1}{x}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\int \ln x\,dx.

Passo 4

Falta \displaystyle \int \ln x\,dx. Podemos lembrar ou aplicar uma última vez integração por partes:
u = \ln x, \quad dv = dx \implies du = \tfrac{1}{x}dx, \quad v = x.
Logo
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.

Passo 5

Retornando ao \int (\ln x)^{2}\,dx, temos
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\bigl(x\ln x - x\bigr) = x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x.
E então para \int (\ln x)^{3}\,dx:
\int (\ln x)^{3}\,dx = x(\ln x)^{3} - 3\bigl[x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x\bigr] = x(\ln x)^{3} - 3x(\ln x)^{2} + 6x\ln x -6x + C.

Resposta

\int (\ln x)^{3}\,dx = x\bigl[(\ln x)^{3} - 3(\ln x)^{2} + 6\ln x - 6\bigr] + C.

Exercícios relacionados