Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
.)
.)
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO com valor inicial
com
e
.
Vamos usar transformada de Laplace e a função de Heaviside para tratar a entrada descontínua.
Vamos usar transformada de Laplace e a função de Heaviside
Passo 2
Reescrevemos o termo direito usando
. Note que
é igual a
Passo 3
Aplicamos Laplace nos dois lados. Para a EDO, usando
e
, obtemos
O lado direito é
Passo 4
Organizando,
Passo 5
Separamos
com
Passo 6
Invertendo
. Fazemos frações parciais:
leva a
,
. Logo
Passo 7
Agora
com
Fração parcial em
:
resulta em
,
,
. Então
Passo 8
Pela propriedade de descolamento,
Passo 9
Somando as duas partes,
Resposta
Para
:
para
: