Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+4 \frac{d y}{d t}+4 y=\left\{\begin{array}{l}0, \quad \text { se } t \leq 2 \e^{-(t-2)}, \quad \text { se } t>2\end{array} ;\quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1.)

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO com valor inicial
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = \begin{cases} 0, & t \le 2,\\\ e^{-(t-2)}, & t>2, \end{cases}
com y(0)=1 e y'(0)=-1.
Vamos usar transformada de Laplace e a função de Heaviside u(t-2) para tratar a entrada descontínua.

Passo 2

Reescrevemos o termo direito usando u(t-2). Note que
f(t) = \begin{cases} 0, & t\le2,\\\ e^{-(t-2)}, & t>2 \end{cases}
é igual a
f(t)=u(t-2)\,e^{-(t-2)}.

Passo 3

Aplicamos Laplace nos dois lados. Para a EDO, usando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y - s\,y(0)-y'(0) e \mathcal L\{y'\}=sY - y(0), obtemos
\bigl(s^2 +4s+4\bigr)Y(s)\;-\;\bigl[s\cdot1 -(-1)\bigr]\;-\;4\cdot1 \;=\;\mathcal L\{u(t-2)e^{-(t-2)}\}.
O lado direito é
\mathcal L\{u(t-2)e^{-(t-2)}\} = e^{-2s}\,\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Organizando,
(s^2+4s+4)\,Y(s)\;-\;(s+3) \;=\;\frac{e^{-2s}}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s+3}{(s+2)^2} \;+\;\frac{e^{-2s}}{(s+1)(s+2)^2}.

Passo 5

Separamos Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s) com
Y_1(s)=\frac{s+3}{(s+2)^2}, \quad Y_2(s)=\frac{e^{-2s}}{(s+1)(s+2)^2}.

Passo 6

Invertendo Y_1(s). Fazemos frações parciais:
\frac{s+3}{(s+2)^2} =\frac{A}{s+2}+\frac{B}{(s+2)^2},
leva a A=1, B=1. Logo
Y_1(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^2} \quad\Longrightarrow\quad y_1(t)=e^{-2t}+t\,e^{-2t}.

Passo 7

Agora Y_2(s)=e^{-2s}H(s) com
H(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^2}.
Fração parcial em H(s):
\frac{1}{(s+1)(s+2)^2} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^2},
resulta em A=1, B=-1, C=-1. Então
H(s) =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}-\frac{1}{(s+2)^2} \quad\Longrightarrow\quad h(t)=e^{-t}-e^{-2t}-t\,e^{-2t}.

Passo 8

Pela propriedade de descolamento,
Y_2(s)=e^{-2s}H(s) \quad\Longrightarrow\quad y_2(t)=u(t-2)\,h\bigl(t-2\bigr) =u(t-2)\bigl[e^{-(t-2)}-e^{-2(t-2)}-(t-2)e^{-2(t-2)}\bigr].

Passo 9

Somando as duas partes,
y(t)=y_1(t)+y_2(t) =e^{-2t}(1+t) +u(t-2)\bigl[e^{-(t-2)}-e^{-2(t-2)}-(t-2)e^{-2(t-2)}\bigr].

Resposta

Para t\le2:
y(t)=e^{-2t}(1+t),
para t>2:
y(t)=e^{-2t}(1+t) +e^{-(t-2)}-e^{-2(t-2)}-(t-2)\,e^{-2(t-2)}.

Exercícios relacionados