Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
y=x, y=\sqrt{x}, em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = x
e
y = \sqrt{x}.
O conteúdo envolve volumes de revolução, e vamos usar o método de discos (ou anéis), que exige: (1) achar os pontos de interseção em x; (2) identificar o raio externo e o raio interno de cada fatia perpendicular ao eixo x; (3) montar e calcular a integral.

Passo 2

Vamos achar os pontos onde
x = \sqrt{x}.
Elevando ao quadrado,
x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0
Logo, as interseções são em x=0 e x=1. No intervalo [0,1], temos \sqrt{x}\ge x, de modo que \sqrt{x} gera o contorno superior da região.

Passo 3

Esboço da região no plano xy:
  • A reta y=x e a curva y=\sqrt{x} se cruzam em (0,0) e (1,1).
  • A região fica entre essas curvas, para 0\le x\le1.
Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em abscissa x gera um anel de raio externo
R(x)=\sqrt{x}
e raio interno
r(x)=x.

Passo 4

A área do anel em x é
A(x)=\pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] =\pi\bigl[x - x^2\bigr].
Portanto o volume é
V = \int_{x=0}^{1} A(x)\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral,
\int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.
Logo,
V = \pi \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{\pi}{6}.

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é
\frac{\pi}{6}.

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