Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
, em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
O conteúdo envolve volumes de revolução, e vamos usar o método de discos (ou anéis), que exige: (1) achar os pontos de interseção em
; (2) identificar o raio externo e o raio interno de cada fatia perpendicular ao eixo
; (3) montar e calcular a integral.
Passo 2
Vamos achar os pontos onde
Elevando ao quadrado,
Logo, as interseções são em
e
. No intervalo
, temos
, de modo que
gera o contorno superior da região.
Passo 3
Esboço da região no plano
:
- A reta
e a curva se cruzam em e . - A região fica entre essas curvas, para
.
Ao girar em torno do eixo
, cada fatia em abscissa
gera um anel de raio externo
e raio interno
Passo 4
A área do anel em
é
Portanto o volume é
Passo 5
Calculando a integral,
Logo,
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é