1. Determinar a escala de uma carta onde um viaduto é representado com 3,0 \mathrm{~cm} de extensão, sabendo-se que em uma outra carta na escala 1:50.000 este mesmo viaduto mede 15,0 \mathrm{~mm} :

Passo 1

O enunciado nos dá duas representações do mesmo viaduto e pede a escala da primeira carta. Informações fornecidas:
  • Na carta conhecida, a escala é 1:50.000 e o viaduto tem comprimento no mapa igual a 15,0\,\mathrm{mm}.
  • Na carta cuja escala é desconhecida, o viaduto aparece com comprimento no mapa igual a 3,0\,\mathrm{cm}.
    O que se pede: determinar a escala da segunda carta (aquela em que o viaduto mede 3,0\,\mathrm{cm}).

Passo 2

Conceito e fórmula-chave (explicação didática): a escala de uma carta 1:n significa que uma unidade no mapa corresponde a n mesmas unidades no terreno. Se denotarmos por m o comprimento medido no mapa e por L o comprimento real no terreno, a relação é
L = m \cdot n,
onde é essencial usar as mesmas unidades para m e L ao aplicar a fórmula. Aqui vamos usar essa relação duas vezes: primeiro para obter L a partir da carta de escala conhecida, depois para achar n da carta desconhecida a partir de L e do comprimento medido nela.

Passo 3

Calcular o comprimento real do viaduto usando a carta escala 1:50.000.
  • Na carta conhecida: m_1 = 15,0\,\mathrm{mm} e n_1 = 50.000.
    Aplicando L = m_1 \cdot n_1 com unidades em milímetros:
L = 15,0\,\mathrm{mm} \times 50.000 = 750.000\,\mathrm{mm}.

Passo 4

Converter L para uma unidade mais conveniente (metros) para facilitar os próximos cálculos e leitura.
  • Sabendo que 1{.}000\,\mathrm{mm}=1\,\mathrm{m}, temos:
L = 750.000\,\mathrm{mm} = 750\,\mathrm{m}.
(ou, se preferir trabalhar em milímetros, pode continuar com L=750.000\,\mathrm{mm}; o importante é manter unidades consistentes.)

Passo 5

Determinar a escala da segunda carta usando o comprimento medido nela.
  • Na carta desconhecida: m_2 = 3,0\,\mathrm{cm}. Converter para metros: 3,0\,\mathrm{cm}=0,03\,\mathrm{m}.
    A relação da escala 1:n_2 é L = m_2 \cdot n_2. Isolando n_2:
n_2 = \frac{L}{m_2}.
Substituindo L=750\,\mathrm{m} e m_2=0,03\,\mathrm{m}:
n_2 = \frac{750}{0,03} = 25.000.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: com n_2=25.000, cada unidade no mapa corresponde a 25.000 unidades no terreno. Verificação com milímetros (opcional): L=750.000\,\mathrm{mm} e m_2=30\,\mathrm{mm} dão n_2=750.000/30=25.000, mesmo resultado — consistência confirmada. Ótimo trabalho, estamos prontos para anotar a escala!

Resposta

1:25.000

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