1. Localizar a reta \mathbf{A B}, cujos pontos possuem as seguintes coordenadas:
\mathbf{A}\left\{\begin{array} { l } { E = 3 0 0 . 0 0 0 \mathrm { m } } \\\ { N = 9 . 5 0 0 . 0 0 0 \mathrm { m } } \end{array} \quad \mathbf { B } \left\{\begin{array}{l} E=750.000 \mathrm{~m} \\\ N=7.000 .000 \mathrm{~m} \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas dos dois pontos que definem a reta AB. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Ponto A: E_A = 300000\\ \mathrm{m},\qquad N_A = 9500000\\ \mathrm{m}.
  • Ponto B: E_B = 750000\\ \mathrm{m},\qquad N_B = 7000000\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede: "localizar a reta AB". Vou interpretar isso como obter uma descrição útil e completa da reta que passa por A e B: vetor direção, forma paramétrica, forma cartesiana (equação do tipo N = mE + b e forma padrão com coeficientes inteiros), e a distância entre A e B. Estas informações permitem localizar a reta em planta e calcular qualquer ponto sobre ela.

Passo 2

Definição e extração dos dados (peguei estes valores do enunciado).
  • Denoto as coordenadas como pares (E,N) onde E é a coordenada Leste (Easting) e N é a coordenada Norte (Northing).
  • Assim: A=(E_A,N_A)=(300000,\,9500000), \qquad B=(E_B,N_B)=(750000,\,7000000).

Passo 3

Calcular o vetor direção \mathbf{v} da reta AB (vetor que vai de A para B). A fórmula é
\mathbf{v} = \overrightarrow{AB} = (E_B-E_A,\;N_B-N_A).
Substituindo os valores:
\Delta E = E_B-E_A = 750000-300000 = 450000,
\Delta N = N_B-N_A = 7000000-9500000 = -2500000.
Logo
\mathbf{v} = (450000,\;-2500000).
Explicação curta: o vetor direção mostra quanto se anda em E e em N para ir de A até B.

Passo 4

Escrever a forma parâmetrica da reta (forma muito prática para localizar pontos sobre a reta). A forma vetorial é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R},
onde [t) é o parâmetro (para t=0 obtém-se A, para t=1 obtém-se B, e valores entre 0 e 1 correspondem a pontos entre A e B).
Convertendo para coordenadas E e N:
\begin{cases} E(t)=E_A + t\,(E_B-E_A) = 300000 + 450000\,t,\\[4pt] N(t)=N_A + t\,(N_B-N_A) = 9500000 - 2500000\,t. \end{cases}
Exemplo de uso: para t=\tfrac{1}{2}\] obtém-se o ponto médio; para \(t=1 obtém-se B.]

Passo 5

Determinar a equação cartesiana na forma “declive-intercepto” N = mE + b.
A inclinação (declive) m é
m=\frac{\Delta N}{\Delta E}=\frac{N_B-N_A}{E_B-E_A}=\frac{-2500000}{450000}=\,-\frac{2500000}{450000}.
Simplificando a fração por 50\!000:
m=-\frac{50\,000}{9}\approx -5555{,}555\ldots
Para encontrar o intercepto b (valor de N quando E=0) usamos
b = N_A - m\,E_A.
Calculemos exatamente:
mE_A = -\frac{50\,000}{9}\cdot 300000 = -\frac{50\,000\cdot 300000}{9} = -\frac{15\,000\,000\,000}{9} = -\frac{15\,000\,000}{9}\,,
portanto
b = 9500000 - \Big(-\frac{15\,000\,000}{9}\Big) = 9500000 + \frac{15\,000\,000}{9} = \frac{100\,500\,000}{9} \approx 11\,166\,666{,}666\ldots
Logo a forma cartesiana é
N = -\frac{50\,000}{9}\,E + \frac{100\,500\,000}{9}.

Passo 6

Colocar a equação da reta na forma padrão com coeficientes inteiros aE + bN + c = 0, útil em algumas aplicações práticas. Partimos de
N = -\frac{50\,000}{9}E + \frac{100\,500\,000}{9}.
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar denominadores:
9N = -50\,000 E + 100\,500\,000.
Reorganizando:
50\,000 E + 9 N - 100\,500\,000 = 0.
Esta é uma forma inteira e limpa da equação da reta.

Passo 7

Calcular a distância entre A e B (útil para saber o comprimento do segmento que define a reta). Fórmula da distância em coordenadas planas:
d_{AB} = \sqrt{(E_B-E_A)^2 + (N_B-N_A)^2}.
Substituindo:
d_{AB} = \sqrt{(450000)^2 + (-2500000)^2} = \sqrt{450000^2 + 2500000^2}.
Calculemos os quadrados:
450000^2 = 202500000000,\qquad 2500000^2 = 6250000000000.
Somando:
d_{AB} = \sqrt{6250000202500} \approx 2500000{,}0405\\ \mathrm{m}.
Observação prática: como |\Delta N| é muito maior que |\Delta E|, a distância é praticamente 2{,}5 milhões de metros (diferença de apenas alguns centímetros na terceira ordem), ou seja, o segmento é quase vertical (praticamente para sul).

Passo 8

Calcular o vetor unitário na direção de \overrightarrow{AB} (útil para avançar uma distância conhecida ao longo da reta). O vetor direção é \mathbf{v}=(450000,\,-2500000) e o módulo \|\mathbf{v}\|=d_{AB} já calculado. O vetor unitário é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \left(\frac{450000}{d_{AB}},\; \frac{-2500000}{d_{AB}}\right) \approx (0{,}180000,\; -0{,}99999998).
Interpretação: avançando 1 metro ao longo da reta, a componente em E é aproximadamente 0{,}18 m e a componente em N é aproximadamente -0{,}99999998 m — ou seja, quase diretamente para o sul com um pequeno deslocamento para leste.

Passo 9

Exemplo rápido de uso (como localizar um ponto sobre a reta): se quiser o ponto da reta com E=500000, use a equação cartesiana
N = -\frac{50\,000}{9}\cdot 500000 + \frac{100\,500\,000}{9} = \frac{100\,500\,000 - 50\,000\cdot 500000}{9}.
Calculando numericamente dá um N compatível (não desenvolvi aqui por inteiro, mas o procedimento é esse). Alternativamente, encontra-se t resolvendo E(t)=500000 na forma paramétrica e obtém-se N(t) diretamente.

Resposta

Forma paramétrica:
\begin{cases} E(t)=300000 + 450000\,t,\\[4pt] N(t)=9500000 - 2500000\,t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}
Equação cartesiana (declive-intercepto):
N = -\dfrac{50\,000}{9}\,E + \dfrac{100\,500\,000}{9}
Equação na forma padrão com coeficientes inteiros:
50\,000\,E + 9\,N - 100\,500\,000 = 0
Vetor direção:
\overrightarrow{AB}=(450000,\,-2500000)
Distância entre A e B:
d_{AB}=\sqrt{6250000202500}\approx 2500000{,}0405\\ \mathrm{m}]

Exercícios relacionados