No CARTÃO
4) Deduza as expressões dos parâmetros críticos de um gás de van der Waals e expresse as constantes a e b em função da temperatura crítica e da pressão crítica. Calcule os valores de a e b para o oxigênio, cujas condições críticas são -118,4^circ C e 5,1 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre os parâmetros críticos de um gás usando a equação de Van der Waals. A gente precisa deduzir as expressões dos parâmetros críticos $ T_c $ (temperatura crítica) e $ P_c $ (pressão crítica) em função das constantes $ a $ e $ b $ da equação de Van der Waals. Depois, vamos expressar $ a $ e $ b $ em termos de $ T_c $ e $ P_c $ e, por fim, calcular esses valores para o oxigênio usando as condições críticas fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals para um gás real:
( P + aVm^2 ) (Vm - b) = R T
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V_m $ é o volume molar, $ T $ é a temperatura, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ a $ e $ b $ são constantes características do gás que levam em conta as interações intermoleculares e o volume ocupado pelas moléculas, respectivamente.

Passo 3

Na condição crítica, o ponto crítico é caracterizado pela inflexão da curva $ P $ versus $ V_m $, o que significa que a primeira e a segunda derivadas de $ P $ em relação a $ V_m $ são iguais a zero. Matemáticamente, isso é:
P
Vamos usar essas condições para encontrar relações entre $ a $, $ b $, $ T_c $ e $ P_c $.

Passo 4

Primeiro, vamos expressar $ P $ a partir da equação de Van der Waals:
P
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ P $ em relação a $ V_m $:
P = R TVm - b - aVm^2
Igualando a zero para a condição crítica:
P
Daí, temos:
Vm
Simplificando:
partial Ppartial Vm = -R T(Vm - b)^2 + 2 aVm^3
Agora, fazemos a segunda derivada:
-R Tc(Vm,c - b)^2 + 2 aVm,c^3 = 0
Igualando a zero para a condição crítica:
R Tc(Vm,c - b)^2 = 2 aVm,c^3
Que dá:
R Tc Vm,c^3 = 2 a (Vm,c - b)^2
Simplificando por 2:
partial^2 Ppartial Vm^2 = 2 R T(Vm - b)^3 - 6 aVm^4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ a $ e $ b $).

Passo 5

Vamos resolver o sistema para encontrar $ a $ e $ b $ em termos de $ T_c $ e $ P_c $.
Primeiro, das duas equações que obtivemos:
a
b
Dividindo a equação (2) pela equação (1):
Tc
Simplificando:
Pc
Resolvendo para $ b $:
R Tc Vm,c^3 = 2 a (Vm,c - b)^2 (1)
Então, $ b = \frac{V_{m,c}}{3} $.
Agora, substituindo $ V_{m,c} = 3 b $ na equação (1):
R Tc Vm,c^4 = 3 a (Vm,c - b)^3 (2)
Agora, precisamos relacionar isso com a pressão crítica $ P_c $. Da equação de Van der Waals no ponto crítico:
R Tc Vm,c^4R Tc Vm,c^3 = 3 a (Vm,c - b)^32 a (Vm,c - b)^2
Substituindo $ V_{m,c} = 3 b $:
Vm,c = 32 (Vm,c - b)
Substituindo $ a = \frac{27 R T_c b}{8} $:
b
Resolvendo para $ b $:
Vm,c = 32 Vm,c - 32 b Rightarrow 12 Vm,c = 32 b Rightarrow Vm,c = 3 b
Agora, substituímos $ b $ na expressão para $ a $:
b = Vm,c3
Portanto, as constantes $ a $ e $ b $ em termos da temperatura crítica $ T_c $ e pressão crítica $ P_c $ são:
Vm,c = 3 b

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de $ a $ e $ b $ para o oxigênio. As condições críticas são $ T_c = -118,4^{\circ} \mathrm{C} $ e $ P_c = 5,1 \mathrm{MPa} $.
Primeiro, precisamos converter a temperatura para Kelvin:
a
Sabendo que $ R = 8,314 , \mathrm{J/(mol \cdot K)} $, vamos converter a pressão para Pascals:
b
Agora, calculamos $ b $:
Tc = -118,4^circ C
Agora, calculamos $ a $:
Pc = 5,1 MPa

Resposta

Para o oxigênio, as constantes da equação de Van der Waals são aproximadamente:
a approx 1,375 , Pa cdot m^6/mol^2 b approx 0,03156 , m^3/mol

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