No CARTÃO
4) Deduza as expressões dos parâmetros críticos de um gás de van der Waals e expresse as constantes
e
em função da temperatura crítica e da pressão crítica. Calcule os valores de
e
para o oxigênio, cujas condições críticas são
e
.
4) Deduza as expressões dos parâmetros críticos de um gás de van der Waals e expresse as constantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre os parâmetros críticos de um gás usando a equação de Van der Waals. A gente precisa deduzir as expressões dos parâmetros críticos $ T_c $ (temperatura crítica) e $ P_c $ (pressão crítica) em função das constantes $ a $ e $ b $ da equação de Van der Waals. Depois, vamos expressar $ a $ e $ b $ em termos de $ T_c $ e $ P_c $ e, por fim, calcular esses valores para o oxigênio usando as condições críticas fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals para um gás real:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V_m $ é o volume molar, $ T $ é a temperatura, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ a $ e $ b $ são constantes características do gás que levam em conta as interações intermoleculares e o volume ocupado pelas moléculas, respectivamente.
Passo 3
Na condição crítica, o ponto crítico é caracterizado pela inflexão da curva $ P $ versus $ V_m $, o que significa que a primeira e a segunda derivadas de $ P $ em relação a $ V_m $ são iguais a zero. Matemáticamente, isso é:
Vamos usar essas condições para encontrar relações entre $ a $, $ b $, $ T_c $ e $ P_c $.
Passo 4
Primeiro, vamos expressar $ P $ a partir da equação de Van der Waals:
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ P $ em relação a $ V_m $:
Igualando a zero para a condição crítica:
Daí, temos:
Simplificando:
Agora, fazemos a segunda derivada:
Igualando a zero para a condição crítica:
Que dá:
Simplificando por 2:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ a $ e $ b $).
Passo 5
Vamos resolver o sistema para encontrar $ a $ e $ b $ em termos de $ T_c $ e $ P_c $.
Primeiro, das duas equações que obtivemos:
Dividindo a equação (2) pela equação (1):
Simplificando:
Resolvendo para $ b $:
Então, $ b = \frac{V_{m,c}}{3} $.
Agora, substituindo $ V_{m,c} = 3 b $ na equação (1):
Agora, precisamos relacionar isso com a pressão crítica $ P_c $. Da equação de Van der Waals no ponto crítico:
Substituindo $ V_{m,c} = 3 b $:
Substituindo $ a = \frac{27 R T_c b}{8} $:
Resolvendo para $ b $:
Agora, substituímos $ b $ na expressão para $ a $:
Portanto, as constantes $ a $ e $ b $ em termos da temperatura crítica $ T_c $ e pressão crítica $ P_c $ são:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores de $ a $ e $ b $ para o oxigênio. As condições críticas são $ T_c = -118,4^{\circ} \mathrm{C} $ e $ P_c = 5,1 \mathrm{MPa} $.
Primeiro, precisamos converter a temperatura para Kelvin:
Sabendo que $ R = 8,314 , \mathrm{J/(mol \cdot K)} $, vamos converter a pressão para Pascals:
Agora, calculamos $ b $:
Agora, calculamos $ a $:
Resposta
Para o oxigênio, as constantes da equação de Van der Waals são aproximadamente: