Questão 4. A adsorção de sulfato y ( \mu \mathrm{g} / \mathrm{g} de terra) pode ser dada como função da concentração de sulfato na solução em equilíbrio 20 \leq x \leq 120\left(\mu g \mathrm{SO}_{4}^{2-} / m l\right). Utilizando a fórmula de Freundlich para um solo de \mathrm{pH}=4.65, podemos relacionar y e x por meio da expressão
y=k x^{n}
O objetivo é utilizar os dados da tabela a seguir para encontrar os valores dos parâmetros k e n :
x\left(\mu g \mathrm{SO}_{4}^{2-} / \mathrm{ml}\right) y(\mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} de terra )
20 24.2
40 50.42
80 105.053
120 161.39

Passo 1

O enunciado dá a isoterma de Freundlich
y = k\,x^n
com os pares (x_i,y_i):
(20,24.2),\;(40,50.42),\;(80,105.053),\;(120,161.39).
Queremos estimar k e n por mínimos quadrados. Para isso vamos linearizar o modelo aplicando logaritmo natural:
\ln y = \ln k + n\,\ln x.

Passo 2

Definimos as variáveis
u_i = \ln x_i,\quad v_i = \ln y_i,
e calculamos para cada ponto:
\begin{aligned} u_1 &= \ln(20)=2,9957,&\;v_1 &= \ln(24.2)=3,1880,\\\ u_2 &= \ln(40)=3,6889,&\;v_2 &= \ln(50.42)=3,9206,\\\ u_3 &= \ln(80)=4,3820,&\;v_3 &= \ln(105.053)=4,6540,\\\ u_4 &= \ln(120)=4,7875,&\;v_4 &= \ln(161.39)=5,0831. \end{aligned}

Passo 3

Agora somamos:
\begin{aligned} S_u &= \sum_{i=1}^4 u_i = 15,8541,\\\ S_v &= \sum_{i=1}^4 v_i = 16,8457,\\\ S_{uu} &= \sum_{i=1}^4 u_i^2 = 64,7025,\\\ S_{uv} &= \sum_{i=1}^4 u_i\,v_i = 68,7352. \end{aligned}

Passo 4

Usamos as fórmulas de regressão linear para estimar n e \ln k:
n = \frac{4\,S_{uv} - S_u\,S_v}{4\,S_{uu} - (S_u)^2},
\ln k = \frac{S_v - n\,S_u}{4}.
Substituindo,
n = \frac{4\cdot68{,}7352 - 15{,}8541\cdot16{,}8457} {4\cdot64{,}7025 - (15{,}8541)^2}\approx1{,}0602,
\ln k = \frac{16{,}8457 - 1{,}0602\cdot15{,}8541}{4}\approx0{,}0107.

Passo 5

Finalmente, exponenciamos para obter k:
k = e^{\,0{,}0107}\approx1{,}0107.

Resposta

k\approx1{,}0107,\quad n\approx1{,}0602.

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