Numa casa de campo, um enxame de abelhas colide contra uma porta de vidro. Considere que no intervalo de tempo \Delta t, N abelhas se choquem contra a porta, e que a área da porta atingida pelas abelhas seja A. Considere ainda que as abelhas tenham massa m e velocidade \mathbf{v}, com módulo constante e direção formando ângulo \theta com a superfície da porta. Por simplicidade, considere que as colisões são elásticas. Utilizando argumentos semelhantes aos utilizados para as colisões das partículas de um gás ideal contra as paredes do recipiente que o contém: (a) mostre que o módulo da força média exercida pelo enxame sobre a parede vale F_{\text {med }}=(2 N m v \operatorname{sen} \theta) / \Delta t. (b) Qual a pressão exercida sobre a porta?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força média e a pressão que um enxame de N abelhas exerce sobre uma porta de área A em um intervalo \Delta t. Cada abelha tem massa m e velocidade de módulo v, incidindo com ângulo \theta em relação à superfície da porta, e as colisões são elásticas. Vamos usar o mesmo raciocínio de transferência de momento das partículas de um gás contra uma parede.

Passo 2

Quando uma única abelha incide, apenas a componente perpendicular à parede contribui para a troca de momento. Essa componente é
p_{\perp} = m\,v\,\sin\theta.
Como a colisão é elástica, a variação de momento perpendicular para essa abelha é
\Delta p = p_{\text{final}} - p_{\text{inicial}} = (-m\,v\,\sin\theta) - (m\,v\,\sin\theta) = -2\,m\,v\,\sin\theta,
em módulo \Delta p = 2\,m\,v\,\sin\theta.

Passo 3

Se N abelhas colidem no mesmo intervalo \Delta t, a variação total de momento transferida à porta é
\Delta P_{\text{total}} = N \times (2\,m\,v\,\sin\theta) = 2\,N\,m\,v\,\sin\theta.

Passo 4

A força média é a variação de momento por unidade de tempo, logo
F_{\text{med}} = \frac{\Delta P_{\text{total}}}{\Delta t} = \frac{2\,N\,m\,v\,\sin\theta}{\Delta t}.

Passo 5

A pressão é a força média dividida pela área A, então
P = \frac{F_{\text{med}}}{A} = \frac{2\,N\,m\,v\,\sin\theta}{A\,\Delta t}.

Resposta

(a) \displaystyle F_{\text{med}}=\frac{2\,N\,m\,v\,\sin\theta}{\Delta t}.
(b) \displaystyle P=\frac{2\,N\,m\,v\,\sin\theta}{A\,\Delta t}.

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