Um mol de gás monoatômico, cujo calor específico molar a volume constante é C_{\mathrm{V}}=3 R / 2, ocupa o volume V_{i} à pressão P_{i}. O gás é submetido a um processo termodinâmico que dobra a velocidade quadrática média das moléculas, \left\langle\nu^{2}\right\rangle^{1 / 2}. (a) Mostre que a variação de temperatura do gás é \Delta T= \left(3 P_{i} V_{i}\right) / R. (b) Mostre que a variação de energia interna é \Delta U=(9 / 2) P_{i} V_{i}.

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás monoatômico com C_{V}=3R/2, nas condições iniciais (P_i,V_i), e diz que o processo dobra a velocidade quadrática média \langle\nu^2\rangle^{1/2}. Queremos (a) a variação de temperatura \Delta T e (b) a variação de energia interna \Delta U. Usaremos a teoria cinética dos gases ideais e a fórmula da energia interna de um gás monoatômico.

Passo 2

Na teoria cinética vale
\langle\nu^2\rangle = \frac{3k_B T}{m}
ou, em termos molares,
\langle\nu^2\rangle = \frac{3RT}{M}\,,
logo \langle\nu^2\rangle^{1/2}\propto \sqrt{T}. Se esse termo dobra, temos
\sqrt{T_f}=2\sqrt{T_i} \quad\Longrightarrow\quad T_f=4\,T_i \quad\Longrightarrow\quad \Delta T=T_f-T_i=3\,T_i.
Como para um mol de gás ideal P_iV_i=R\,T_i, segue
\Delta T=3\,T_i=3\,\frac{P_iV_i}{R}\,.

Passo 3

A variação de energia interna de um mol de gás monoatômico é
\Delta U = n\,C_V\,\Delta T
com n=1 e C_V=3R/2. Substituindo \Delta T=3P_iV_i/R
\Delta U = \frac{3R}{2}\,\frac{3P_iV_i}{R} = \frac{9}{2}\,P_iV_i.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta T = \frac{3\,P_i\,V_i}{R}.
(b) \displaystyle \Delta U = \frac{9}{2}\,P_i\,V_i.

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