(1,5) Em uma casa há dois alarmes com sensores de fumaça instalados, um na sala de jantar (ao lado da cozinha) e o outro em um quarto (acima da cozinha). Se o preparo de comida produz fumaça na cozinha, a probabilidade de que dispare o alarme na sala de jantar é 0.95 . A probabilidade que a fumaça da cozinha dispare o alarme no quarto é 0.40 . Os dois sensores detectam fumaça independentemente.
a. Se há fumaça na cozinha, qual a probabilidade de que a fumaça seja detectada por ambos os sensores?
b. Qual a probabilidade que a fumaça da cozinha seja detectada e, portanto, que dispare ao menos um dos alarmes?

Passo 1

O enunciado descreve dois sensores independentes que detectam fumaça na cozinha com probabilidades ,0,95 (sala de jantar) e ,0,40 (quarto). Vamos usar dois conceitos básicos de probabilidade: a regra do produto para eventos independentes (para achar a probabilidade dos dois dispararem juntos) e a regra do complemento (para achar a probabilidade de pelo menos um disparar).

Passo 2

Para a probabilidade de os dois sensores dispararem simultaneamente, usamos que para eventos independentes A e B vale
P(Acap B)=P(A)cdot P(B)
Aqui P(A)=0,95 e P(B)=0,40, logo
P(ambos) = 0,95 times 0,40 = 0,38

Passo 3

Para a probabilidade de disparar ao menos um alarme, calculamos
P(Acup B) = 1 - P(A^ccap B^c)
Como P(A^c)=1-0,95=0,05 e P(B^c)=1-0,40=0,60 e são independentes,
P(A^ccap B^c)=0,05times0,60=0,03,
então
P(ao menos um) = 1 - 0,03 = 0,97

Resposta

a) 0,38
b) 0,97

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