6.5 An engineer is interested in the effects of cutting speed
, tool geometry
, and cutting angle
on the life (in hours) of a machine tool. Two levels of each factor are chosen, and three replicates of a
factorial design are run. The results are as follows:
A
B
C
Treatment Combination
Replicate
I
II
III
-
-
-
(1)
22
31
25
+
-
-
32
43
29
-
+
-
35
34
50
+
+
-
55
47
46
-
-
c
44
45
38
+
-
+
40
37
36
-
+
+
60
50
54
+
+
+
39
41
47
(a) Estimate the factor effects. Which effects appear to be large?
(b) Use the analysis of variance to confirm your conclusions for part (a).
(c) Write down a regression model for predicting tool life (in hours) based on the results of this experiment.
(d) Analyze the residuals. Are there any obvious problems?
(e) On the basis of an analysis of main effect and interaction plots, what coded factor levels of
, and
would you recommend using?
A | B | C | Treatment Combination | Replicate | ||
I | II | III | ||||
- | - | - | (1) | 22 | 31 | 25 |
+ | - | - |
|
32 | 43 | 29 |
- | + | - |
|
35 | 34 | 50 |
+ | + | - |
|
55 | 47 | 46 |
- | - |
|
c | 44 | 45 | 38 |
+ | - | + |
|
40 | 37 | 36 |
- | + | + |
|
60 | 50 | 54 |
+ | + | + |
|
39 | 41 | 47 |
(b) Use the analysis of variance to confirm your conclusions for part (a).
(c) Write down a regression model for predicting tool life (in hours) based on the results of this experiment.
(d) Analyze the residuals. Are there any obvious problems?
(e) On the basis of an analysis of main effect and interaction plots, what coded factor levels of
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de um experimento fatorial
, onde um engenheiro quer entender como três fatores diferentes — velocidade de corte
, geometria da ferramenta
e ângulo de corte
— afetam a vida útil de uma máquina-ferramenta medida em horas. Cada fator tem dois níveis (por exemplo, alto e baixo), e foram feitas três repetições para cada combinação de fatores. Vamos precisar usar conceitos de análise fatorial, estimativa de efeitos, e análise de variância (ANOVA) para resolver as partes (a) a (e) dessa questão.
Passo 2
Primeiro, precisamos organizar os dados fornecidos. Temos 8 combinações de tratamentos (já que
) e para cada uma delas, três replicações. Vamos calcular a média de cada tratamento para facilitar a análise.
Passo 3
Vamos calcular as médias para cada tratamento:
- (-, -, -):
- (+, -, -)
: - (-, +, -)
: - (+, +, -)
: - (-, -, +)
: - (+, -, +)
: - (-, +, +)
: - (+, +, +)
:
Passo 4
Para estimar os efeitos dos fatores, usamos a fórmula:
Vamos calcular os efeitos para cada fator e suas interações.
Passo 5
Efeito de A (velocidade de corte):
Primeiro, identificamos as médias nos níveis altos (+) e baixos (-) de A:
- Nível alto (+):
, , , → - Nível baixo (-):
Então,
Passo 6
Efeito de B (geometria da ferramenta):
- Nível alto (+):
, , , → - Nível baixo (-):
, , , (tratamento sem B específico como -) →
Passo 7
Efeito de C (ângulo de corte):
- Nível alto (+):
, , , → - Nível baixo (-): -,
, , →
Passo 8
Agora, vamos calcular os efeitos de interação.
Interação AB:
Interação AC:
Interação BC:
Interação ABC:
Passo 9
Resumindo os efeitos estimados:
- A ≈ 0.42
- B ≈ 3.68
- C ≈ 3.04
- AB ≈ -12.51
- AC ≈ -19.67
- BC ≈ -13.67
- ABC ≈ -49.67
Passo 10
Agora, analisando quais efeitos são grandes, observamos que os efeitos principais de B e C são superiores a A, e as interações AB, AC, BC e ABC também têm valores significativos, especialmente a interação ABC. Isso sugere que não apenas os fatores individuais, mas também as combinações deles influenciam bastante a vida útil da máquina.
Resposta
(a) Estimamos os efeitos dos fatores e suas interações como segue:
- A ≈ 0.42
- B ≈ 3.68
- C ≈ 3.04
- AB ≈ -12.51
- AC ≈ -19.67
- BC ≈ -13.67
- ABC ≈ -49.67
Os efeitos que parecem ser grandes são os efeitos principais de B e C, bem como as interações AB, AC, BC e ABC, indicando que tanto os fatores individuais quanto as combinações deles têm um impacto significativo na vida útil da máquina-ferramenta.