Questão 39: Uma vacina tem
de eficiência na imunização de uma moléstia, que acomete
da população não vacinada. Suponha que após uma campanha de vacinação em que
da população seja atingida, um paciente chegue a um hospital com a moléstia em questão, mas não lembra se tomou ou não a vacina. Qual a probabilidade de que a tenha tomado?
Passo 1
O enunciado dá uma campanha de vacinação com cobertura de
da população, vacina com
de eficiência e, entre os não vacinados, a doença atinge
. Um paciente chega com a doença e não lembra se foi vacinado. Vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para achar
Passo 2
Definimos os eventos
: o paciente foi vacinado,
: o paciente não foi vacinado,
: o paciente está doente.
Então
Então
Como a vacina é
eficiente, apenas
dos vacinados ficam suscetíveis e entre eles 50% adquirem a doença. Logo
Passo 3
Calculamos a probabilidade total de adoecer, usando a lei da probabilidade total:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que o paciente vacinado seja de fato vacinado é