Questão 39: Uma vacina tem 90 % de eficiência na imunização de uma moléstia, que acomete 50 % da população não vacinada. Suponha que após uma campanha de vacinação em que 70 % da população seja atingida, um paciente chegue a um hospital com a moléstia em questão, mas não lembra se tomou ou não a vacina. Qual a probabilidade de que a tenha tomado?

Passo 1

O enunciado dá uma campanha de vacinação com cobertura de 70% da população, vacina com 90% de eficiência e, entre os não vacinados, a doença atinge 50%. Um paciente chega com a doença e não lembra se foi vacinado. Vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para achar
P(VacinadomidDoente)

Passo 2

Definimos os eventos
;V: o paciente foi vacinado,
;V^c: o paciente não foi vacinado,
;D: o paciente está doente.
Então
P(V)=0,70, P(V^c)=0,30, P(Dmid V^c)=0,50
Como a vacina é 90% eficiente, apenas 10% dos vacinados ficam suscetíveis e entre eles 50% adquirem a doença. Logo
P(Dmid V) = (1-0,90)times 0,50 = 0,10times 0,50 = 0,05

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de adoecer, usando a lei da probabilidade total:
P(D)=P(Dmid V)P(V)+P(Dmid V^c)P(V^c) =0,05cdot0,70 + 0,50cdot0,30 = 0,035 + 0,15 = 0,185

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bayes:
P(Vmid D) =P(Dmid V),P(V)P(D) =0,05cdot0,700,185 =0,0350,185 =737approx0,1892

Resposta

A probabilidade de que o paciente vacinado seja de fato vacinado é
P(Vmid D)=737approx 18,9%

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