Seja uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade
1 2 3 4
0.2 0.35 0.3
Calcule:



Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos aqui:
– Enunciado: a variável aleatória discreta X assume valores em 1,2,3,4 com probabilidades dadas por
P(X=1)=0,2,;P(X=2)=0,35,;P(X=3)=0,3,;P(X=4)=?
A gente precisa achar quatro coisas:
  1. P(X>1)
  2. P(X<4mid X>=3)
  3. A média muX
  4. O desvio padrão sigmaX
Conteúdo da matéria:
  • Propriedade de normalização de distribuições (as probabilidades somam 1).
  • Probabilidade condicional: P(Amid B)=P(Acap B)/P(B).
  • Valor esperado (média) de variável discreta: E[X]=sum x,P(X=x).
  • Variância e desvio padrão: Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 e sigmaX=raizVar(X).
O que vamos precisar:
  • Somar e subtrair probabilidades.
  • Usar fórmula de probabilidade condicional.
  • Calcular somas ponderadas para expectativa e expectativa de X^2.

Passo 2

Primeiro, falta P(X=4). Como a soma de todas as probabilidades deve dar 1, a gente faz:
P(X=4) ;=;1-l(0,2+0,35+0,3r) =1-0,85 =0,15

Passo 3

Agora P(X>1). Isso é a soma de P(X=2)+P(X=3)+P(X=4). Então:
P(X>1) =;0,35 + 0,3 + 0,15 =;0,8

Passo 4

Em seguida, P(X<4mid X>=3). A gente interpreta:
  • X<4 e X>=3 juntos é só X=3.
  • X>=3 é X=3 ou X=4.
Logo, por definição de probabilidade condicional,
P(X<4mid X>=3) =P(X=3)P(X=3)+P(X=4) =0,30,3+0,15 =0,30,45 =23 approx0,6667

Passo 5

Vamos achar a média muX = E[X]. Por definição:
E[X] =sumx=1^4 x,P(X=x) =1cdot0,2 + 2cdot0,35 + 3cdot0,3 + 4cdot0,15 =0,2 + 0,7 + 0,9 + 0,6 =2,4

Passo 6

Por fim, o desvio padrão sigmaX. Primeiro variância:
  1. Calcular E[X^2]:
E[X^2] =sum x^2P(X=x) =1^2cdot0,2 + 2^2cdot0,35 + 3^2cdot0,3 + 4^2cdot0,15 =0,2 + 1,4 + 2,7 + 2,4 =6,7
  1. Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2 = 6,7 - (2,4)^2 = 6,7 - 5,76 = 0,94
  2. sigmaX = raiz0,94 approx 0,97

Resposta

P(X>1)=0,8
P(X<4mid X>=3)=tfrac23approx0,6667
muX=2,4
sigmaXapprox0,97

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