Uma casa de salada oferece um total de 20 opções de ingredientes para que os clientes montem sua própria salada. Um cliente quer montar uma salada 9 ingredientes diferentes.
De quantas maneiras ele pode montar esta salada sabendo que dois dos ingredientes não podem ser usados juntos?

Passo 1

O enunciado faz parte do conteúdo de combinações simples e princípio da contagem com exclusão de casos proibidos. Temos 20 ingredientes no total e queremos escolher 9 sem repetição, mas há um par de ingredientes que não pode aparecer junto na mesma salada.

Passo 2

Primeiro contamos todas as saladas de 9 ingredientes sem restrição. Isso é dado por
\binom{20}{9}.

Passo 3

Agora contamos quantas saladas violam a regra, ou seja, contêm ambos os dois ingredientes proibidos. Se fixamos esses dois, restam escolher 7 ingredientes dentre os 20-2=18 restantes. Logo o número de casos proibidos é
\binom{18}{7}.

Passo 4

Pelo princípio da exclusão, o número de saladas válidas é o total menos os proibidos:
\binom{20}{9}\;-\;\binom{18}{7}.
Calculando numericamente,
\binom{20}{9}=167960, \quad \binom{18}{7}=31824,
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167960 - 31824 = 136136.

Resposta

136136 saladas possíveis.

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