Queremos escolher uma senha de 10 caracteres para uma conta na internet, mas para ficar simples de lembrar vamos iniciar a senha com 7 letras e finalizar com 3 dígitos numéricos. Também por simplicidade, escolheremos as letras em um conjunto de 10 letras e os dígitos numéricos deverão ser menores ou iguais a 5.
Quantas senhas podemos formar sabendo que as letras escolhidas devem ser distintas entre si?

Resposta

a. 130636800
b. 2160000000
c. 1250000000
d. 10000216
e. 75600000

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos formar senhas de 10 caracteres iniciadas por 7 letras distintas escolhidas de um alfabeto de 10 letras e finalizadas por 3 dígitos (cada um em \{0,1,2,3,4,5\}), sem restrição de repetição nos dígitos. Vamos usar o princípio fundamental da contagem e permutações para as letras.

Passo 2

Para as 7 letras distintas em sequência, temos permutações de 10 elementos tomados 7 a 7:
P(10,7) \;=\;\frac{10!}{(10-7)!}\;=\;\frac{10!}{3!}\;=\;10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\;=\;604800.

Passo 3

Para cada um dos 3 dígitos finais, há 6 opções 0 a 5 e podem repetir. Pelo princípio multiplicativo, o total é
6^3 \;=\;216.

Passo 4

Pela regra do produto, o número total de senhas é
604800 \times 216 \;=\;130636800.

Resposta

a. 130636800

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