1. (1,5) Um casal escolhe como método contraceptivo o uso de preservativos de um determinado fabricante. O casal possui um pacote com 10 unidades deste preservativo. A taxa de ruptura durante o ato sexual para esta marca é de 3% para cada preservativo. O desempenho de um preservativo não influencia os demais.
    a) A variável aleatória discreta X é igual ao número de preservativos rompidos durante o ato sexual. Escreva uma expressão para a distribuição de probabilidade de X, ou seja, sua função massa de probabilidade.
P(X=x)=10!/[x!(10-x)!] 0.03^wed>= x cdot 0.97^wed>=(10-x)
b) Calcule o valor médio muX e o desvio padrão sigmaX de X para a variável da questão 8.
muX=10.0 03 sigmaX=raiz(10 cdot 0.03 cdot 0.97)

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que a variável aleatória discreta X conta o número de preservativos rompidos em n=10 tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso (ruptura) p=0,03. Isso caracteriza uma distribuição binomial. Vamos então escrever sua função massa, calcular o valor esperado muX e o desvio padrão sigmaX.

Passo 2

A função massa de probabilidade de uma binomial com parâmetros n e p é
P(X=x)=binomnxp^x(1-p)^,n-x
Aqui n=10 e p=0,03, portanto
P(X=x)=binom10x,(0,03)^x,(0,97)^,10-x,
para x=0,1,2,dots,10.

Passo 3

O valor médio (esperança) de uma binomial é dado por
muX = n,p
Substituindo n=10 e p=0,03 obtém-se
muX = 10cdot 0,03 = 0,3

Passo 4

A variância de uma binomial é
Var(X)=n,p,(1-p)
Logo o desvio padrão é
sigmaX = raizn,p,(1-p) = raiz10cdot 0,03cdot 0,97 approx 0,54

Resposta

a)
P(X=x)=binom10x,(0,03)^x,(0,97)^10-x, x=0,1,dots,10
b)
muX = 0,3, sigmaX = raiz10cdot 0,03cdot 0,97approx 0,54

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