Questão 05 - Os dados de 200 reações endotérmicas envolvendo bicarbonato de sódio são resumidos a seguir:
Condições da Temperatura Final Número de Reações
266 K 48
271 K 60
274 K 92
a) Calcule a função de probabilidade de X .
b) Qual é o número médio da reação da primeira temperatura final menor do que 272 K ?
Levando em consideração que um total de 20 reações independentes devem ser conduzidas.
c) Qual é a probabilidade de que no mínimo 2 reações resultem em uma temperatura final menor do que 272 K?
d) Qual é o número esperado de reações que resultam em uma temperatura final menor do que 272 K ?

Passo 1

O enunciado traz dados de 200 reações endotérmicas classificadas pela temperatura final observada em três valores (266 K, 271 K e 274 K). Vamos usar conceitos de distribuição de probabilidade discreta, de distribuição geométrica (para o tempo até a primeira ocorrência) e de distribuição binomial (para um número fixo de ensaios).

Passo 2

Primeiro, obtemos a função de probabilidade de X dividindo as frequências pelo total de 200 reações: temos
P(X=266)=48200=0.24, P(X=271)=60200=0.30, P(X=274)=92200=0.46

Passo 3

Em seguida, definimos “sucesso” como uma reação com temperatura final menor que 272 K. Logo,
p=P(X<272)=P(X=266)+P(X=271)=0.24+0.30=0.54

Passo 4

Para a parte (b) queremos o número médio de reações até a primeira ocorrência de sucesso, ou seja, para uma variável geométrica. O valor esperado é
E(N)=1p=10.54approx1.85 reaçõesçõ

Passo 5

Nas partes (c) e (d) consideramos 20 reações independentes com probabilidade de sucesso p=0.54 em cada uma, isto é, uma variável binomial YsimBin(n=20,p=0.54).

Passo 6

Para (c) a probabilidade de que ocorram pelo menos 2 sucessos é
P(Y>=2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-l((1-p)^20+20p(1-p)^19r)

Passo 7

Para (d) o número esperado de sucessos é simplesmente
E(Y)=np=20times0.54=10.8

Resposta

a) reações até a primeira temperatura <272 K.\nc) \nd) )

Exercícios relacionados