Na Universidade Tecnológica Federal do Paraná, no campus de Cornélio Procópio, temos ao ano 1000 alunos ingressante nos cursos superiores. Destes 1000 estudantes, 550 reprovam em calculo 1, 450 reprovam em física 1 e 300 reprovam em algebra linear. Sendo que alguns alunos reprovam em duas disciplinas simultaneamente, ou seja, 120 reprovam em calculo 1 e fisical, 110 reprovam em física 1 e álgebra linear e 150 reprovam em calculo 1 e álgebra linear e 50 alunos reprovam nas 3 disciplinas. Se um aluno é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade dele:
a) Ser reprovado somente em calculo 1 ? Resp
b) Ser reprovado em pelo menos uma das 3 disciplinas? Resp
d) Não ter reprovado em nenhuma das disciplinas?
Justifique seus cálculos!

Passo 1

O enunciado nos dá um total de N=1000 alunos e três conjuntos de reprovação:
C: reprovação em Cálculo 1, com lvert Crvert=550
F: reprovação em Física 1, com lvert Frvert=450
A: reprovação em Álgebra Linear, com lvert Arvert=300
As interseções são
lvert Ccap Frvert=120,
lvert Fcap Arvert=110,
lvert Ccap Arvert=150
e a tripla
lvert Ccap Fcap Arvert=50.
Vamos usar probabilidade clássica (razão de cardinalidades), inclusão–exclusão para união e complemento.

Passo 2

Queremos a probabilidade de reprovar somente em Cálculo 1, isto é,
lvert Csetminus(Fcup A)rvert = lvert Crvert - l(lvert Ccap Frvert + lvert Ccap Arvert - lvert Ccap Fcap Arvertr)
Substituindo,
lvert Csetminus(Fcup A)rvert =550 - (120 + 150 - 50) =550 - 220 =330
Logo
P(somente Cálculo 1) =3301000 =0,33 á

Passo 3

Queremos a probabilidade de reprovar em pelo menos uma disciplina, isto é,
lvert Ccup Fcup Arvert = lvert Crvert + lvert Frvert + lvert Arvert - lvert Ccap Frvert - lvert Fcap Arvert - lvert Ccap Arvert + lvert Ccap Fcap Arvert
Substituindo,
lvert Ccup Fcup Arvert =550 + 450 + 300 - 120 - 110 - 150 + 50 =970
Logo
P(pelo menos uma) =9701000 =0,97

Passo 4

A probabilidade de não reprovar em nenhuma disciplina é o complemento de reprovar em pelo menos uma, ou seja,
P(nenhuma) =1 - 0,97 =0,03

Resposta

a) 0,33
b) 0,97
d) 0,03

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