(4 casas decimais pós vírgula) Suponha que estamos interessados em estimar a proporção p de consumidores de um certo produto. Se a amostra de tamanho 150 forneceu 60 indivíduos que consomem o produto, determine:
a) (1,0) o intervalo de confiança para \mathbf{p}, com coeficiente de confiança 1-\alpha=98 \%;
b) (0,5) interprete o intervalo de confiança;
c) (0,5) o tamanho da amostra para que o erro não exceda 0,02 com probabilidade de 98 \%.

Passo 1

O enunciado trata de estimar a proporção p de consumidores de um produto a partir de uma amostra de tamanho n=150 na qual X=60 consomem. Vamos:
1. calcular o intervalo de confiança (IC) de nível 98\% para p usando a aproximação normal;
2. interpretar o IC obtido;
3. determinar o tamanho de amostra necessário para que o erro máximo seja E=0,02 com a mesma confiança de 98\%.

Passo 2

Para o IC usamos a estatística
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{60}{150} = 0,4,
a variância aproximada é \hat p(1-\hat p)/n e o quantil normal de cauda 1\% é z_{0{,}01}\approx2,3263.
A raiz da variância estimada (erro padrão) é
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,4\cdot0,6}{150}} =0,04.
O erro máximo (margem) é
\mathrm{ME} = z_{0{,}01}\,\mathrm{SE} =2,3263\times0,04 \approx0,0931.
Logo o IC de 98\% é
\bigl[\hat p-\mathrm{ME},\,\hat p+\mathrm{ME}\bigr] =\bigl[0,4-0,0931,\;0,4+0,0931\bigr] =\bigl[0,3069,\;0,4931\bigr].

Passo 3

Interpretamos esse intervalo dizendo que, se repetíssemos muitas vezes a amostragem de tamanho 150 e construíssemos para cada amostra um IC da mesma forma, cerca de 98\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de p. No caso concreto, estamos 98\% confiantes de que p está entre 0,3069 e 0,4931.

Passo 4

Para que o erro máximo não ultrapasse E=0,02 com confiança de 98\%, usamos
n =\frac{z_{0{,}01}^{2}\,\hat p(1-\hat p)}{E^{2}} =\frac{2,3263^{2}\times0,4\times0,6}{0,02^{2}} \approx3247{,}1.
Arredondando para o próximo inteiro, precisamos de
n=3248
indivíduos na amostra.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 98\% para p é
[0,3069,\;0,4931].
b) Isso significa que temos 98\% de confiança de que a verdadeira proporção de consumidores p está entre 0,3069 e 0,4931; em repetidas amostragens, 98\% dos ICs assim construídos conteriam p.
c) Para que o erro não exceda 0,02 com 98\% de confiança, o tamanho de amostra deve ser n=3248.

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