(4 casas decimais pós vírgula) Suponha que estamos interessados em estimar a proporção p de consumidores de um certo produto. Se a amostra de tamanho 150 forneceu 60 indivíduos que consomem o produto, determine:
a)
o intervalo de confiança para
, com coeficiente de confiança
;
b)
interprete o intervalo de confiança;
c)
o tamanho da amostra para que o erro não exceda 0,02 com probabilidade de
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado trata de estimar a proporção
de consumidores de um produto a partir de uma amostra de tamanho
na qual
consomem. Vamos:
. calcular o intervalo de confiança (IC) de nível
para
usando a aproximação normal;
. interpretar o IC obtido;
. determinar o tamanho de amostra necessário para que o erro máximo seja
com a mesma confiança de
.
Passo 2
Para o IC usamos a estatística
a variância aproximada é
e o quantil normal de cauda
é
.
A raiz da variância estimada (erro padrão) é
A raiz da variância estimada (erro padrão) é
O erro máximo (margem) é
Logo o IC de
é
Passo 3
Interpretamos esse intervalo dizendo que, se repetíssemos muitas vezes a amostragem de tamanho
e construíssemos para cada amostra um IC da mesma forma, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de
. No caso concreto, estamos
confiantes de que
está entre
e
.
Passo 4
Para que o erro máximo não ultrapasse
com confiança de
, usamos
Arredondando para o próximo inteiro, precisamos de
indivíduos na amostra.
Resposta
a) O intervalo de confiança de
para
é
b) Isso significa que temos
de confiança de que a verdadeira proporção de consumidores
está entre
e
; em repetidas amostragens,
dos ICs assim construídos conteriam
.
c) Para que o erro não exceda
com
de confiança, o tamanho de amostra deve ser
.