Uma variável aleatória X tem parâmetros \mu=8 e \sigma^{2}=7,5. Tomada uma amostra de tamanho 30, calcular a probabilidade da média amostral:
ser inferior a (7,34)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma v.a. X com \mu=8 e \sigma^2=7,5. Foi extraída uma amostra de tamanho n=30 e queremos
calcular
a probabilidade da média amostral \overline X ser inferior a 7,34.
Conteúdo: distribuição amostral da média e Teorema Central do Limite.

Passo 2

Pela teoria da estimativa de médias, a média amostral \overline{X} tem
média \mu_{\overline{X}}=\mu e variância \sigma^2_{\overline{X}}=\sigma^2/n.
\sigma_{\overline{X}} \;=\;\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \;=\;\sqrt{\frac{7,5}{30}} \;=\;0,5.

Passo 3

Padronizamos \overline X para a v.a. normal padrão Z:
Z \;=\;\frac{\overline X-\mu}{\sigma_{\overline X}} \;=\;\frac{7,34-8}{0,5} \;=\;-1,32.

Passo 4

Queremos \Pr(\overline X<7,34)=\Pr(Z< -1,32). Pela tabela da normal padrão,
\Phi(1,32)=0,9066, então
\Phi(-1,32)=1-\Phi(1,32)=1-0,9066=0,0934.

Resposta

0,0934 (aproximadamente)

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