(Farias (2009) - ex.4.1) Na distribuição normal X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), encontre:
\operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq 1,96 \sigma)

Passo 1

O enunciado diz que X segue a distribuição normal com média \mu e variância \sigma^{2}, isto é,
X \sim N\bigl(\mu,\sigma^{2}\bigr)
e pede a probabilidade
\Pr\bigl(|X-\mu|\le 1{,}96\,\sigma\bigr).
Para resolver vamos usar padronização da normal e tabelas da normal padrão.

Passo 2

Escrevemos o evento em termos de X-\mu:
\Pr\bigl(|X-\mu|\le 1{,}96\,\sigma\bigr) =\Pr\bigl(-1{,}96\,\sigma \le X-\mu \le 1{,}96\,\sigma\bigr).

Passo 3

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
que satisfaz Z\sim N(0,1). Assim
\Pr\bigl(-1{,}96\,\sigma \le X-\mu \le 1{,}96\,\sigma\bigr) =\Pr\bigl(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96\bigr).

Passo 4

Usamos a simetria da normal padrão e as funções de distribuição acumulada \Phi:
\Pr\bigl(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96\bigr) =\Phi(1{,}96)-\Phi(-1{,}96) =2\,\Phi(1{,}96)-1.
Da tabela da normal padrão, \Phi(1{,}96)\approx 0{,}9750. Logo
2\times 0{,}9750 - 1 = 1{,}9500 - 1 = 0{,}9500.

Resposta

\Pr\bigl(|X-\mu|\le 1{,}96\,\sigma\bigr)=0{,}95.

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