Uma casca cilíndrica delgada muito longa tem densidade superficial de carga \sigma uniforme em toda sua superfície. A casca tem raio R e se move com velocidade v ao longo de seu eixo de simetria (eixo z positivo). Qual o campo magnético gerado no exterior da casca?
(A) \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} R \sigma v}{r} \hat{k}
(B) \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} R \sigma v}{r} \hat{\varphi}
(C) \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} R \sigma v}{2 \pi r} \hat{\varphi}
(D) \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} R \sigma v}{2 \pi r} \hat{k}
(E) \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} R^{2} \sigma v}{2 r} \hat{\varphi}

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica infinita de raio R com densidade superficial de carga \sigma, deslocando-se com velocidade v ao longo do eixo z. Precisamos modelar essa carga em movimento como uma corrente superficial e usar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético \vec{B} fora da casca r>R.

Passo 2

Uma superfície carregada com densidade \sigma e movendo-se com velocidade v gera uma densidade de corrente superficial
K = \sigma\,v
no sentido do movimento (eixo z).

Passo 3

Pela simetria cilíndrica, o campo \vec{B} depende só de r e circula em torno do eixo z. Escolhemos um caminho amperiano circular de raio r no plano perpendicular ao eixo, de comprimento 2\pi r. A Lei de Ampère diz:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{int}}.

Passo 4

O corrente total atravessando a área do laço é a corrente superficial sobre a casca de raio R, ou seja
I_{\text{int}} \;=\; K\,(2\pi R)\;=\;\sigma\,v\,(2\pi R).

Passo 5

Como \vec{B} é tangencial e constante em módulo no laço, temos
B(r)\,(2\pi r) \;=\;\mu_{0}\,\sigma\,v\,(2\pi R) \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_{0}\,\sigma\,v\,R}{r}.

Passo 6

Pelo sentido da corrente (eixo +z) e pela regra da mão direita, \vec{B} aponta na direção \hat{\varphi}. Logo
\vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}\,R\,\sigma\,v}{r}\,\hat{\varphi}.

Resposta

(B) \displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}\,R\,\sigma\,v}{r}\,\hat{\varphi}

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