Numa dada região do espaço o campo elétrico e o campo magnético são uniformes. A velocidade de um elétron é dada por \vec{v}=(3 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k}) \mathrm{km} / \mathrm{s} e é invariante no tempo. O campo magnético é dado por \vec{B}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) \mathrm{T}. Qual o campo elétrico?
(A) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+2 \hat{k}) k V / m \hat{k}.
(B) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}) k V / m \hat{k}.
(C) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
(D) \vec{E}=(\hat{\imath}-\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
(E) \vec{E}=(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.

Passo 1

O enunciado diz que um elétron move-se com velocidade constante em uma região de campos elétrico e magnético uniformes. A matéria envolvida é força de Lorentz, cujo enunciado afirma que a força total sobre a partícula de carga q é
\vec{F} = q\bigl(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}\bigr).
Como a velocidade é invariante no tempo, a aceleração é zero e, portanto, \vec{F}=0. Vamos usar isso para encontrar \vec{E}.

Passo 2

Da condição \vec{F}=0 segue
\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}.

Passo 3

Aplicamos a definição do produto vetorial com \vec{v}=(3\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}+1\,\hat{k}) (em km/s, mas só importa a direção) e \vec{B}=(1\,\hat{\imath}+1\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}) em tesla:
\vec{v}\times\vec{B} =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\\ 3&3&1\\\\ 1&1&0 \end{vmatrix} =\bigl(3\cdot0-1\cdot1\bigr)\hat{\imath} -\bigl(3\cdot0-1\cdot1\bigr)\hat{\jmath} +\bigl(3\cdot1-3\cdot1\bigr)\hat{k} =-\hat{\imath}+\hat{\jmath}.

Passo 4

Logo
\vec{E} = -\bigl(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr) =\hat{\imath}-\hat{\jmath}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra (D).

Resposta

(D)

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