Uma espira circular de raio R e corrente i tem o momento de dipolo orientado na direção \hat{n}= (\hat{\imath}+\hat{\jmath}) / \sqrt{2}. Nessa região o vetor campo magnético é uniforme e é dado por \vec{B}=B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}. Qual o torque \vec{\tau} sobre a espira?
(A) \vec{\tau}=\frac{i R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}
(B) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{\jmath}
(C) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}
(D) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{\imath}
(E) \vec{\tau}=\frac{\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá uma espira circular de raio R e corrente i, com momento de dipolo magnético \displaystyle \vec{m}=i\,A\,\hat{n},
onde A=\pi R^{2} é a área e \displaystyle \hat{n}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath})/\sqrt{2}. O campo magnético é uniforme \displaystyle \vec{B}=B_{x}\,\hat{\imath}+B_{y}\,\hat{\jmath}.
Queremos o torque \vec{\tau} sobre a espira.

Passo 2

Calculamos \vec{m} usando A=\pi R^{2}:
\vec{m} = i\,\pi R^{2}\,\frac{\hat{\imath}+\hat{\jmath}}{\sqrt{2}} =\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\;\hat{\imath} +\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\;\hat{\jmath}.

Passo 3

A fórmula do torque de um dipolo magnético em campo uniforme é
\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}.

Passo 4

Faça o produto vetorial
\begin{aligned} \vec{\tau} &=\Bigl(m_x\hat{\imath}+m_y\hat{\jmath}\Bigr) \times\Bigl(B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}\Bigr)\\[6pt] &=m_xB_y\;(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}) +m_yB_x\;(\hat{\jmath}\times\hat{\imath})\\[4pt] &=m_xB_y\,\hat{k}-m_yB_x\,\hat{k} =(m_xB_y-m_yB_x)\,\hat{k}. \end{aligned}]

Passo 5

Substituindo m_x=m_y=\dfrac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}, obtemos
\vec{\tau} =\biggl(\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,B_{y} -\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,B_{x}\biggr)\hat{k} =\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,(B_{y}-B_{x})\;\hat{k}.

Resposta

(C) \displaystyle \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\bigl(B_{y}-B_{x}\bigr)\,\hat{k}

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